在第三章我们证明过“素数有无穷多个”这个事实。的数值极为巨大，它是一个158位数。其中，相邻素数的差以及这些差出现的频率被制作成了表格。第一次出现99个连续合数的时候，其前后的素数分别是396733和396833。它们只是6位数，与158位数相差极远。一个全部为合数的等差数列的例子是4，6，8，10，12，…在这个特别的情形下，级数的部分和与上式恰好是相等的。...
2023-10-30 理论教育
如数加珍：数字丛林的冒险之旅
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数字丛林中的斐波那契数列与杨辉三角详细阅读
我们在前面的章节里已经多次谈到过无穷数列和无穷级数，这一章，我们将作进一步了解——先稍稍正式地说一下它们的意思，然后讲几个有意思的例子。13世纪的数学家，意大利比萨城的列昂纳多另有一个名字叫作斐波那契，这个数列就是以他的名字命名的，称为“斐波那契数列”。因此，这个等式告诉我们，斐波那契数列的第n项是[n/2]+ 1个二项式系数的和，这些二项式系数在杨辉三角中处在一条上升的斜线上。...
2023-10-30 理论教育
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无理数及超越数：数字丛林的冒险之旅详细阅读
前文的分析同时告诉我们，完全平方数的数列中也没有两个项的比例等于2与3之外的任何其他素数，因此素数的平方根都是无理数。此外，虽然6不是素数，一个完全平方数也不会是另一个完全平方数的6倍，因此也是无理数。总之等等都是无理数。实数中有很多很多的无理数，这些无理数中“绝大部分”不是代数数，它们不能表示成任何代数方程的根，我们将这类数称为“超越数”。...
2023-10-30 理论教育
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数的开场白：数字丛林的冒险之旅详细阅读
19世纪曾经有学者声称某些动物可以数到“5”，这后来被证明是错误的。其实，连早期的人类都没有数到“5”的能力。印度—阿拉伯数字我们现在使用的1，2，3等所谓的“阿拉伯数字”，其实是古印度人发明的。在这种记数系统中，“零”是一个重要的“占位”符号。同样一个“3”，写在一个数里的不同位置，所表示的数目不一样。因此，整个数表示的就是“三百二十一”。“数位”的妙处不仅在...
2023-10-30 理论教育
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连分数展开：数字丛林的冒险详细阅读
在这里，找出数对的方法是用连分数展开，它本质上和辗转相除法等价。如果用连分数的想法，我们只要将77/34的连分数展开再额外进行一步就可以了。虽然我们总是可以把有限的连分数展开式逐步化简成单个分数p/ q，但任何无理数显然都不可以写成有限的连分数展开式。我们下面来考察某些无理数的连分数展开。但是，为了显得有点儿个性，我们要先把放在一边，先来考察的连分数展开。...
2023-10-30 理论教育
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丢番图方程解析：破解整系数代数方程，取得惊人成果详细阅读
丢番图致力于研究简单代数方程的求解问题，并且取得很了不起的成果。在现代数学里，丢番图方程所指的是考虑整数解时的整系数代数方程。上一章我们提到一个丢番图方程：x2-3y2=1。我们看到，有些丢番图方程没有（整数）解，而有的则有无穷多组解。也就是说，我们已经找出了这个丢番图方程的所有解。...
2023-10-30 理论教育
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数与素数：唯一分解定理及公因数计算详细阅读
所谓“算术基本定理”，即一个数可以被分解成一系列素数的乘积，本质上这种分解是唯一的。这样的话，没有人能够用其他素数，比如3或者7，与其他素数的乘积得到20这个数。换句话说，根据素因数的情形，自然数可以分成1，素数和合数三类。现在，84与30的差等于54，所求的公因数当然也整除54，因而也是54与30的公因数。最后得到零时的那个数6，这就是114与30的最大公因数。将114除以30，所得的余数即是24，这个余数就是下一个除数。...
2023-10-30 理论教育
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数字样式：数学家高斯的数学冒险之旅详细阅读
包括原来的数在内，重新排列的数之第一个数字有9种选择。第二个数字的选取在第一个已经选定之后，因此总共有8种选择。在各种数学家排行榜中，高斯通常都名列前三位。高斯总结了复数的应用，严格证明了代数基本定理。在24岁时，高斯用他的数学知识，计算出了小行星谷神星的运行轨迹，轰动了整个天文学界。高斯知道他很多数学思想超越时代，很可能不会被时代所接受，因此他将很多研究结果留在自己的文稿里，而不向外界公开。...
2023-10-30 理论教育
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同余算术在建筑工业中的应用-为了保证余数关系的正确性详细阅读
建筑工业中其实经常用到同余算术。余数在这里是很关键的，一旦作为除数的“模”确定下来，两个数同余事实上就是两个余数相等。由于38等于1倍的24与14的和，因此38与14对模24同余。显然，我们应该知道对于同余式这些规律是否成立。也就是说，我们可以对同余式两边同时取k次幂。...
2023-10-30 理论教育
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数字的神奇之旅：完美平方与逆序数详细阅读
两位数的平方可以是四位数，这些数中没有一个满足上述这种神奇的逆序形式，但是其中有一对数也相当神奇：332=1089，992=9801。虽然四位的完全平方数没有对应的平方逆序数，它们中却另有别样的神奇：其中有连续五个四位平方数，它们的前半部分组成的两位数与后半部分组成的两位数的和也是完全平方数！除了以上所得到的长串连续自然数之外，还有其他一些折半和为完全平方的自然数。...
2023-10-30 理论教育