反过来，这个关系也几乎成立，除了一点儿“不完美”。即便如此，还是有些特殊的“振动模式”会引起我们的注意。有一种最简单的振动，被称之为“基础模式”。第二谐音同理可得，“第三谐音”以基础谐音三倍的频率振动，整个弦上有两个节点。以第二谐音为例，正确的触碰位置是弦的中点，大概在吉他指板上第十二品丝附近。与此相似，轻触第七或者第十九品丝将使琴弦发出第三谐音。...
2023-10-26 理论教育
牛津教授的16堂趣味数学课
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牛津教授引爆几何学热潮详细阅读
也正是这个证明，连同其他让他感到不可思议的结论一起，让霍伯斯“爱上了几何”。如今，几何这门学科所涵盖的内容，早已超越了直角三角形、圆形等等。其中的一个例子便是拓扑学，一项类似“橡胶板”的几何学科。变换的五个步骤图在本章即将结束的时候，让我们还是回到古希腊几何学留下的最重要的一份遗产上，那就是“证明”的概念。...
2023-10-26 理论教育
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牛津教授16堂趣味数学课：1089与那些往事详细阅读
最后，再将这个差值首尾对调，并且与原差值相加：495+594=1089。经过这一番操作，我们得到了最终的答案1089。在我的印象中，这个名为“1089”的小把戏是第一个让我觉得不可思议的数学谜题。当我第一次在1956年的“I-SPY”年刊上读到它时，我才10岁。也许正因为那一丝丝神秘感和不可捉摸，使“1089”这类数学谜题同我们当时在学校里学的那些数学知识大相径庭。[1]与“1089”一比，我想你就能理解为什么我会为后者着迷。...
2023-10-26 理论教育
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第四章：解密代数中的代问题详细阅读
）这里，摩斯沃斯认为代数只是“一堆杂乱无章的字母”而已，这种认知让我感到哀伤。我们今天所知道的“代数”概念直到十六世纪才完全形成。比如，摩斯沃斯就用下列式子：摩斯沃斯认为困难的方程作为一个例子来展示代数方程能使“任何人窒息”。他们的目的是将几何问题变为代数问题，或者将代数问题变成几何问题。做这一切的主要原因是一个代数方程可以被表示为一条曲线，或者一条曲线也可以被写作一个代数方程。...
2023-10-26 理论教育
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快到了吗？16堂趣味数学课感受牛津教授思维详细阅读
用切割矩形的方法估算曲线下面的面积在这个例子里，我们再次碰到了一个永远“没有终点”的数学问题。一旦我们开始正式讨论数字本身的时候，无穷的问题便随之产生了。在数学世界里，“无穷”的概念能在构建逻辑思维中起到重要的作用。截至现在，所有的列车都已经连了起来，最后一步便是发动引擎。数学归纳法的适用范围非常广泛，在不同的应用中，在数学不同的分支中，哪怕是在最深奥的领域里，它一次又一次向人们展现了其价值。...
2023-10-26 理论教育
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第三章荒谬的情节-《牛津教授的数学课》详细阅读
使用反证法来描述这个问题就是一种令人信服的方式。科尼斯堡地图那么，假设这样的一条线路确实存在。可惜的是，在科尼斯堡的地图上，没有任何一块区域符合这个条件。科尼斯堡现已更名为“加里宁格勒”，受到二战后重建的影响，当地的桥也只剩下五座。都是质数，但15这个可以被3和5整除的数则不是。这次，欧几里得找到了答案：质数的数量是无穷无尽的。但事实上，这是不可能的。...
2023-10-26 理论教育
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牛津教授教你16堂妙趣数学课：马尔法蒂问题的伟大错误解法详细阅读
马尔法蒂的解法在其后的一百年间，大家都认为这个问题已经找到了完美的解决方案。虽然这个问题并不太重要，但它在不少知名数学家手中转了一圈，似乎大家都对马尔法蒂的解法相当满意。然而，在1930年，有人发现一件怪事：如果面对一个全等三角形，马尔法蒂的解法是错误的。马尔法蒂问题的正确解法另一方面，即便是伟大的数学家们也可能得到错误的结论。...
2023-10-26 理论教育
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牛津教授数学课：最优的正方形场地详细阅读
另一方面，不论P点在河岸上哪一点，∠OPH’和∠OPH大小都一样。展开后得到2x-x 2。x（2-x）大小的矩形于是，农场主的这个问题变成了寻找一个x值，使得y=2x-x 2的值达到最大。所以，正方形场地是“最好”的。第一个问题中，这个数代表着P点在河岸上的坐标，第二个问题中，这个数代表x的大小。假设，我们一共只有四座小镇，并为了方便起见，将它们安排在一个长度为1的正方形四个顶点上。简单路网ABCD但这个答案显然不是最短的。...
2023-10-26 理论教育
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揭秘生命奥秘：《牛津教授的数学课》详细阅读
叶绿素的英文字典解释截图五十年之后，我并未比当初更加了解生命的真谛。说句老实话，我现在甚至都不能清楚地理解第23题问的究竟是什么。并且，我们还要规定y和v的初始值是什么。抽象的行星椭圆轨道在接下来的十九世纪里，整个电磁学的知识体系因为微分方程的到来，发生了天翻地覆的变化。二十世纪里，类似的情况也曾发生，甚至于量子力学这类伟大发现也受到了微分方程的影响。...
2023-10-26 理论教育
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天空中的异动：从哈雷彗星到开普勒的数学发现详细阅读
从人类早期历史开始，但凡天空中出现异象都会令旁观者异常兴奋，甚至产生恐慌的情绪。哈雷彗星轨道的形状是典型的椭圆形。但开普勒的研究并不止步于此。行星轨道和太阳的关系示意图从开普勒做出这些了不起的发现到他的研究成果被广为宣传和为大众所接受，经过了很多年。...
2023-10-26 理论教育
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运动不息！-牛津教授的趣味数学课详细阅读
世间万物，一切皆处于不休的运动中。这里的“物”可以是一个网球拍的位置、一只股票的市值、一根血管中的血压，变化无处不在。数学的各个分支中，和运动联系最紧密的莫过于“微积分”。那么，δt表示一小段时间上的变化。最后的临门一脚解释起来并不容易。这整个过程被称之为“微积分求导”。自从微积分在十七世纪第一次出现，它带来了大量新的研究课题，也彻底改变了数学和物理这两门学科本身。...
2023-10-26 理论教育
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牛津教授的16堂趣味数学课：揭秘圆周率的历史与解法详细阅读
当人们第一次接触到圆周率π=3.14159……但第二个面积公式，πr2则没那么简单。本书第七章所描述的微积分方法，可以解决这个问题。自从微积分在十七世纪中叶的崛起后，整个计算圆周率的方法都发生了根本性的变化。在此之后不久，莱布尼茨发表了他著名的无限数列：莱布尼兹的圆周率数列这个数列将π和奇数联系起来。如果，你能满足于只采用小数点后一位或者两位小数，也许一个利用概率的圆周率求法显得更简单有趣。...
2023-10-26 理论教育
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牛津教授：数学课打开e=2.718的奇趣之门！详细阅读
它的极限是e=2.718281828459……起初，当t=0时，y的值仅为1，但当t=1时，y已经增长了e=2.718倍……当t=2时，y又增长的一个e=2.718倍……）此时，这个特定的e t满足以下条件：我们可以几乎这么认为，在它具有的所有性质中，以上这个特征将e=2.718……...
2023-10-26 理论教育
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《牛津教授的趣味数学：第十五章通天索的奇妙之旅》详细阅读
比如说，你大概想不到它和印度通天索这个魔术有关，对吗？最早关于印度通天索的描述可以追溯到十四世纪，但在众多的记载中，其最严格的形式包括必须在白天光线充足时在户外完成，直到今天都是件让人琢磨不透的事情。为了在它和印度通天索之间建立一些联系，我们现在将对伯努利的N段“钟摆锁链”系统做出一些新尝试。也是从那时候起，我们也都开始将它和印度通天索联系起来，起初只是为了增加讲解的趣味性。...
2023-10-26 理论教育
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牛津教授的混沌和灾难，一夜间世间无处不混沌详细阅读
让人感到有点儿神奇的是，早在十九世纪时，混沌理论的部分核心观点已经被提及，当时所涉及的具体问题便是我们目前通常所说的“三体”。一夜之间，世间无处不混沌。混沌理论所有这些特征，特别是它对于初始条件极高的敏感度，对于从事长期预判工作的人来说不是什么好消息。可是在现代力学研究中，混沌理论也并非是唯一反复出现的主题。寻找一个会发生突变和混沌运动的物理系统并不难。...
2023-10-26 理论教育