这处矛盾是由康托尔和弗雷格的这些直觉观念中的不确定性导致的。两者合并在一起，构成了集合A与集合B的并集。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 13 范畴，第30页No. 29 连续统假设，第62页No. 35 抽象代数，第74页3.一分钟记忆集合可以作为严谨、概念简单的“积木块”帮助我们构建出复杂的概念。集合论可谓是高等数学的“瑞士军刀”。...
2023-11-22 理论教育
2页纸图解数学 : 以极聪明的方式，让你三步读懂数学
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负数小于零的数：第20个详细阅读
尽管在古代，中国和古印度就已经开始使用负数，但是在西方，负数一直都被人们用怀疑的心态来对待，直到牛顿所处的18世纪初，负数才被正名。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 14 自然数，第32页No. 21 有理数，第46页No. 38 群，第80页右图：一个中国古代书写系统。它可以表示正整数和负整数，并用空白代表零。正数或负数与零一起，使我们能在整数系统中进行持续的减法运算。...
2023-11-22 理论教育
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教你如何利用纽结理论解开绳子详细阅读
数千年前，人们就已经会将绳子打结了。扭结的形成是由它被嵌入三维空间造成的。纽结理论也可以被推广到链环与穗带上，后者是粒子物理的重要内容。参考阅读//No. 60 流形，第124页No. 70 拓扑，第144页No. 76 维度，第156页No. 84 代数拓扑，第172页3.一分钟记忆扭结是嵌在三维空间内的一个圆。...
2023-11-22 理论教育
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用聪明方式轻松学会组合学计数详细阅读
组合学源自对游戏的研究，但也应用于其他许多领域，比如密码学。这种现象被我们称作组合爆炸。这些组合学技巧通常在与自身相关的领域中有着非常实际的作用，而在一些看上去联系不大的领域里，比如拓扑，它们也有一定的作用。参考阅读//No. 14 自然数，第32页No. 92 阶乘，第188页No. 94 图形，第192页3.一分钟记忆组合学研究的是计数，特别是计算组合或者排列结果的数量。即便是对数量很少的事物进行排列组合，往往也会有很多种可能。...
2023-11-22 理论教育
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2页纸图解数学:极聪明方式，三步读懂数学详细阅读
举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。参考阅读//No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页No. 59 欧几里得空间，第122页3.一分钟记忆不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。...
2023-11-22 理论教育
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数学图解：簇和流形的更奇特之处详细阅读
簇可以显示出流形无法显示出的局部性质，比方说自相交。这就是代数几何的根基，它现在是数学研究中的一个主流领域。其中最基本的，是概形的概念。概形和流形十分类似，概形任意一小部分都“看起来像”是一个代数簇，这些小部分通过一个叫作层的结构搭在一起。层和概形现在是代数几何学家所使用的基本的工具。概形是局部看起来和簇很类似的对象。...
2023-11-22 理论教育
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希尔伯特旅馆部分等于整体详细阅读
这个概念虽在哲学领域至今尚无定论，但数学家们大多已经理解并接受希尔伯特旅馆假设延展出的内涵了。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 7 集合论，第18页No. 14 自然数，第32页3.一分钟记忆给定一个由所有自然数构成的无穷集合，我们可以由无穷集基数推出许多颠覆直观认知的结果。...
2023-11-22 理论教育
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康托尔对角线论证：解读无穷的巧妙方式详细阅读
格奥尔格·康托尔和他的同事都对“存在不同大小的无穷”这一发现感到震惊。直到康托尔发展了集合论，有关“无穷”的观点才重新被提出。同样，大多数人都能接受由数构成的无穷序列的存在。这意味着，相对于自然数集，一个由只包含0和1的无穷序列构成的集合要更大。康托尔的论证也意味着实数的数量实际上要比自然数多。...
2023-11-22 理论教育
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3步读懂数学，以极聪明方式阐述详细阅读
具体来讲，范畴论致力于理解带来突破的天才想法或洞察背后的思维模式。范畴论的目标之一，就是使普通人也能发现数学家能发现的模式。早期，范畴论一直被贬为“抽象化与普遍化的无意义”，或是被调侃为“漫画书数学”，因为它侧重使用一些简单的图表而非符号或口头论述，但范畴论在实际问题解决方面所取得的成绩，让这些批评的声音逐渐消退。...
2023-11-22 理论教育
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极简主义风格的数学家，数学专家以2页纸图解方式详细阅读
欧几里得1.多维度看全约公元前300年，欧几里得完成了他的鸿篇巨作——《几何原本》。后来的数学作者们纷纷效仿、参照欧几里得的数学思路进行专业文本的写作。现在，从教科书到研究论文，所有文本都采用公理、定理和证明这种写作形式。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 13 范畴，第30页No. 14 自然数，第32页右图：不同版本欧几里得《几何原本》的书页，这是迄今为止最有影响力的数学著作。...
2023-11-22 理论教育
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无法立即解决的No.100P与NP问题详细阅读
然而，有些问题只能用执行起来效率较以上逊色许多的算法来解决——它们属于NP问题。NP问题往往具有重要的现实意义，它们推动我们去找寻能将其解决的更优算法。也就是说，这个NP问题会不会其实是P问题？有些问题被归为NP问题，是否是因为我们目前还没能找到将其解决的更优算法，或者我们根本无法找到这样的算法？...
2023-11-22 理论教育
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2页纸图解数学：轻松掌握结合、交换和分配性质详细阅读
这些性质中很多都与二元运算有关。参考阅读//No. 20 负数，第44页No. 35 抽象代数，第74页No. 36 二元运算，第76页No. 38 群，第80页No. 42 环和域，第88页3.一分钟记忆如果括号的存在对二元运算没有影响，那么这个二元运算满足结合律。...
2023-11-22 理论教育
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一条线上有多少个点？用2页纸图解数学轻松搞定！详细阅读
连续统假设说的是，这个值就是后面紧接着0的那个无穷的大小1，因此并不会存在某个无穷，其大小在0和实数集的大小之间。连续统假设的不可判定性限制了我们将这一阶阶不同大小的无穷映射到更具体的数学对象上的能力。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 14 自然数，第32页No. 26 实数，第56页No. 27 康托尔对角线论证，第58页No. 28 无穷基数，第60页3.一分钟记忆连续统假设提出了一个问题，并证明它无法被回答，将数学带出了能力范畴。...
2023-11-22 理论教育
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学习微分方程物理的简明图解详细阅读
在这个例子中，“求解”微分方程意味着要找到一个能满足已知的F和m的函数p。参考阅读//No. 50 导数，第104页No. 52 积分，第108页No. 53 微积分基本定理，第110页右图：通过对斜率场的绘制，我们可以求出微分方程的近似解。对微分方程进行更好的理解，依旧是当前研究的重要课题。...
2023-11-22 理论教育
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2页纸图解数学：极简三步读懂数学详细阅读
对于空间内其他任意一点，我们从原点向它做一条直线，并在末尾处画上一个指向该点的箭头，这样一来，我们便得到了一个向量。在三维空间内，我们以自身所处的位置作为原点，用“上”“左”“前”来表示方向。...
2023-11-22 理论教育
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2页纸图解数学：轻松学习数学，提高数学水平详细阅读
在不知道他人会采取什么行动的情况下，博弈论为我们思考如何做出决策提供了一个框架。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 95 概率，第194页3.一分钟记忆博弈论研究的是如何在多个选择中做出理性决策，通常情况下，博弈的参与者不止一名。在实际情况中，博弈论很管用，因为这时假设通常都为真。...
2023-11-22 理论教育