对于式(6.2.1)给出的分式线性映射,由于f′(z) = 因而f(z)在分母不为零的区域内是保角映射.若对于式（6.2.1)给出的分式线性映射,当c 0 时,规定当c = 0时,规定f(∞) = ∞,则分式线性映射将扩充z平面一一对应地映射为扩充w平面.下面我们说明分式线性映射在整个扩充复平面上都是保角的.我们规定两条曲线在z = ∞处的夹角,等于它们通过变换w = z得到的象曲线在w =0处的...
2023-10-30 理论教育
复变函数及其应用
- 详细阅读
-
复变函数：收敛圆与半径详细阅读
同高等数学中的实变幂级数一样,复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理,即阿贝尔(Abel) 定理.定理1(阿贝尔定理) 若级数在z = z0( 0) 收敛,那么对满足|z| ＜|z0| 的z,级数必绝对收敛.若在z = z0级数发散,那么对满足|z|＞|z0| 的级数必发散.证明 若级数收敛,根据收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n有若|z|＜|z0|,则从而由于为公比小于1的等比级数,故收...
2023-10-30 理论教育
-
傅里叶变换的基本性质及应用详细阅读
这一节,我们将介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便,假定以下需求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件.1.线性性质设F1(w)=F[f1(t)],F2(w)=F[f2(t)],α,β是常数,则由于傅氏变换,傅氏逆变换是由积分定义的,而积分具有线性性质,所以傅氏变换,傅氏逆变换也具有线性性质.2.位移性质设F[F(t)]=F(w),则这个性质也称为时移性,它表明时间函数f(t)沿t 轴向左或...
2023-10-30 理论教育
-
复变函数中的傅里叶积分公式详细阅读
定理1(傅氏积分定理) 若函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且满足(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件,即在任意区间内满足: 连续或只有有限个第一类间断点; 只有有限个极值点;(2)在无限区间(-∞,+∞)内绝对可积(即积分收敛),则在f(x)的连续点上有成立,而左端的f(t)在它的间断点t处,应以来代替.这个定理称为傅里叶积分定理,简称为傅氏积分定理,其中所列的条件是充分的,它的证明需要用...
2023-10-30 理论教育
-
保角映射概念解析-复变函数应用详细阅读
定义3 设函数w =f(z)在点z0的邻域内有定义,且在z0具有保角性和伸缩率的不变性,则称映射w = f(z)在z0点是保角映射,如果映射w = f(z)在区域内的每一点都是保角的,则称w =f(z)是区域内的保角映射.保角映射也称为保形映射或共形映射.在复变函数中还存在另一类保角映射,具有伸缩率的不变性,但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,称这种映射为第二类保角映射,从而相对地称定义3中所述的...
2023-10-30 理论教育
-
柯西积分公式的应用-复变函数及其应用详细阅读
设D为一单连通域,z0为D中的一点.若f(z)在D内解析,那么函数在z0点不解析.下面考虑D内围绕z0的简单闭曲线C上积分的计算.根据闭路变形原理,该积分值等于沿任何一条围绕z0的简单闭曲线上的积分.既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同.那么我们就取以z0为中心,半径为δ的圆周|z-z0| = δ(取其正向)作为积分曲线C.由于f(z)的连续性,在C上的函数f(z)的值将随着δ的缩小而逐渐接...
2023-10-30 理论教育
-
使用洛朗级数展开式计算积分-复变函数应用详细阅读
若f(z)在圆环域R1 ＜|z-z0|＜R2内解析,C 为圆环域内绕z0的正向简单闭曲线,则f(x)在该圆环域内的洛朗展开式为其中因而可以将复积分的计算转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-z0)的负一次幂项的系数c-1.例4 计算积分解 函数f(z)= 在1 ＜|z|＜∞内解析,|z|=3 在此圆环域内,把它在此圆环域内展开得故从而例5 计算积分解 先分析函数的解析性.令ζ = 由于ln ζ的不解...
2023-10-30 理论教育
-
复变函数幂级数概念解析详细阅读
回答是肯定的,下面更深入地讨论这个问题....
2023-10-30 理论教育
-
收敛半径求法|复变函数应用详细阅读
由阿贝尔定理可知,收敛半径一定存在,当R=∞时,级数在整个复平面收敛,当R=0 时,级数只在z =0收敛.关于收敛半径的求法,我们有下面的结论:定理2(比值法) 设幂级数为则收敛半径证明 由于故知当|z|＜ 收敛.从而级数在圆|z|=内收敛且绝对收敛.再证当|z| ＞时,级数发散.假设在圆|z| =外有一点z0,使级数收敛.在圆外再取一点z1,使|z1|＜|z0|,那么根据阿贝尔定理,级数必收敛....
2023-10-30 理论教育
-
复数表示方法详解-复变函数及其应用详细阅读
我们通常称z = x+iy为复数z的代数形式.除此之外,复数z还有多种表示形式,下面介绍复数的几种表示方法.由于复数z =x+iy由一个有序实数对(x,y)唯一确定,在取定平面直角坐标系xOy时,实数对(x,y)可视为平面直角坐标系中的两个坐标组成的序对,这就建立了复数z与平面上的点的一一对应关系,于是对于任意一个复数z =x+iy,都对应于平面上的一点P(x,y),故可用实数对形式(x,y)表示...
2023-10-30 理论教育
-
保角映射的几个一般性定理应用详细阅读
在本章的前面,我们已经证明了解析函数在导数不为零的点处所构成的映射是保角映射,下面的定理指出,它的逆命题也成立.定理1 若函数w =f(z)是定义在区域D的保角映射,且将D一一对应地映射为区域G,则w = f(z)为D内的单叶解析函数,总有f′(z) 0; 并且其逆映射z =φ(w)也是G内的单叶解析映射,且必有φ′(w)=1/f′(z)0.由上面定理可以看出,双方单值的解析映射为保角映射,且保角...
2023-10-30 理论教育
-
利用路西定理比较两个函数的零点个数详细阅读
利用路西(Rouche)定理,我们能对两个函数的零点的个数进行比较.设函数f(z)和g(z)在简单闭曲线C上和C内解析,且在C上满足条件|f(z)|＞|g(z)|,则在C上有|f(z)| ＞0,|f(z) + g(z)| ≥|f(z)| - |g(z)| ＞0.从而在C上f(z)和f(z)+g(z)都不等于零.又设N和N′分别为函数f(z)与f(z)+g(z)在C 的内部的零点个数.由于这两个函数...
2023-10-30 理论教育
-
复变函数中保交比性质的定义和应用详细阅读
定义1 由扩充复平面上4个有序的相异点z1,z2,z3,z4构成的比式称为它们的交比,记作(z1,z2,z3,z4).若4点中有一个为∞,应将包含此点的分子或分母用1代替,例如z1 =∞,则对于扩充z平面上4个有序的相异点z1,z2,z3,z4经整线性映射w =az+b,得到扩充w平面上的4个点w1,w2,w3,w4,由于即整线性映射具有交比不变性.同样可验证w =具有交比不变性.综上可知,分式线...
2023-10-30 理论教育
-
柯西积分定理在复变函数应用中的成果详细阅读
由上一节复积分与实积分的关系式(3.1.2)可以看出,该复积分与路径无关的充要条件是其右端的两个对坐标的曲线积分都与路径无关.而平面上的曲线积分与路径无关的充要条件为:若函数P(x,y)和Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数,L为D内分段光滑的曲线,则曲线积分在D内与路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式在D内恒成立.对于式右端的两个曲线积分,上述条件等式应当分别...
2023-10-30 理论教育
-
复平面曲线方程及其应用详细阅读
实平面上曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式，复平面上的曲线也有直角坐标方程和参数方程两种复数形式.(1)直角坐标方程设z =x+iy,若平面曲线C的直角坐标方程为F(x,y)=0,由可得平面曲线C在复平面上复数形式的方程例1 把直线方程3x+2y =1化为复数形式.解 将代入方程,得为所给直线方程的复数形式.(2)参数方程令z =x+iy,若平面曲线C的参数方程为x=x(t),y =y(t)(α...
2023-10-30 理论教育
-
拉氏变换性质|复变函数及应用详细阅读
这一节将介绍拉氏变换的几个基本性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为了叙述方便,假定在这些性质中,凡是要取拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数统一地设为c.在证明这些性质时,不再重复这些条件.1.线性性质设α,β为常数,且则有或2.相似性质设a ＞0,若L[f(t)]=F (p),则类似有以上两条性质的证明与傅氏变换相应的性质的证明是一样的.3.微分性质...
2023-10-30 理论教育