一个有理系数多项式anxn+…，bn的最大公因数是1.这样的工作总是能够完成的，如我们可以先形式上通分，然后把分母以及分子系数的公因数同时提出.由此可见，有理系数多项式anxn+…+b1x+b0的因式分解问题.以下我们只讨论整系数多项式的因式分解问题.首先我们引入本原多项式的概念.定义2.10 若整系数非零多项式f=anxn+…...
2023-11-22 理论教育
高等代数
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向量线性相关-《高等代数》详细阅读
在线性空间中，向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.本节研究向量在线性运算之下的关系，也就是通常所说的向量的线性相关性.定义4.2 若α1，α2，…，s.因此表示方法是唯一的.证毕.推论4.1 零向量由一个线性无关向量组线性表示的方法是唯一的.定义4.4 设向量组A：α1，α2，…...
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高等代数教你如何进行坐标变换详细阅读
由例4.22可以看到，在线性空间V中，同一向量在不同的基之下的坐标不一定相同.本节研究同一向量在不同基之下的坐标之间的关系，由此得到一般的线性空间中的坐标变换公式.设在n维线性空间V中任意选定两组基α与β，分别为α：α1，α2，…...
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计算对称矩阵标准形-高等代数详细阅读
+x2n=1上的最大值和最小值.10.2.6. 设A是n阶正定矩阵，计算：n重积分.已知：...
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数学归纳法：自然数应用详细阅读
自然数1，2，3，…...
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高等代数：线性空间的定义详细阅读
定义4.1 设F是数域，V是一个非空集合，V中的元素具有两种运算，分别称为加法运算和数乘运算.所谓加法运算，就是一个对应法则，该法则使得集合V中任意两个元素α，β都对应于集合V中一个确定的元素γ，并称γ为元素α与β的和，记作γ=α+β.数乘运算是集合V中元素与数域F中的元素之间的运算法则，该法则使得集合V中任意一个元素α与数域F中任意一个数k，都对应于V中一个确定的元素δ，并称δ为k与α的数量乘积...
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线性空间同构证明及相关性质详细阅读
，σ（αn）是线性无关的.因此，n≤m.综合上面的结论可以得到n=m，即V1，V2有相同的维数.充分性.设V1，V2都是n维线性空间，下面我们来建立一个从V1到V2的同构映射，从而证明V1V2.分别取V1的一组基α1，α2，…，αn之下的坐标是唯一确定的，而向量组β1，β2，…...
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复系数与实系数多项式-《高等代数》简介详细阅读
前面的讨论已经知道，数域F上的多项式在F内一定可以分解为一些不可约多项式的乘积.但是，一个多项式在不同数域内的分解情况是不一样的.例如，多项式x4-4，在有理数域Q内可以分解为（x2-2）（x2+2）；在实数域R内可以分解为在复数域C内可以分解为在一些我们不熟悉的数域中，如在数域内可以分解为与在实数域内的分解情况完全一致；在数域内只能分解为（x2-2）（x2+2），与在有理数域内的分解情况相同.可...
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高等代数中αn的坐标及向量组的维数和矩阵坐标详细阅读
，αn之下的坐标.向量α可以按以下形式写成显然，当基取定之后，每一个向量的坐标都是唯一确定的.反之，对于任意一个有序数组（k1，k2，…，（x-1）n-1，则由微积分中的Taylor公式有因此，f在这组基下的坐标为习题4.3.1.C0是习题4.1.2定义的线性空间.证明：，是线性空间C0的一组基；计算dimC0；求出矩阵在上述这组基下的坐标.4.3.2.Mn作为R上的线性空间的维数是多少？，αn是V的一组基.4.3.5. 设V是n维线性空间，向量组α1，α2，…...
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高等代数：f和g的最大公因式ars详细阅读
==ars，其中ars是f和g的最大公因式，且是由它们唯一确定的首一多项式.上述这组等式通过简单的移项，我们可以得到下面一组等式把rs-1，rs-2，…...
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子空间的交与和，以及关于dimV和dimW1的问题详细阅读
.4.6.6. 若W1是线性空间V的子空间，且dimW1
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线性变换概念及相似关系证明详细阅读
，αn）BA.证明留作习题.定义5.2 设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆方阵P，使得A=P-1BP，则称方阵A与方阵B相似.命题5.6 矩阵的相似关系是一个等价关系，即反身性 矩阵A和它自身相似；对称性 如果矩阵A和B相似，则矩阵B和A也相似；传递性 如果矩阵A和B相似，矩阵B和C相似，则矩阵A和C也相似.证明留作习题.设σ是一个V上的线性变换，先取V的一组基α1，α2，…...
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矩阵A（λ）的相抵标准形定理及唯一性详细阅读
，r-1.定理10.11中式10.32所表达的矩阵称为矩阵A（λ）的相抵标准形.定义10.11 设λ矩阵A（λ）的秩为r，对于整数k，1≤k≤r，A（λ）中必有非零的k阶子式.A（λ）的全部k阶子式的最大公因式Dk（λ）称为A（λ）的k阶行列式因子.定理10.12 相抵的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.定理10.13λ矩阵的相抵标准形是唯一的.定义10.12λ矩阵A（λ）的相抵标准形主对角线上的非零元素d1（λ），d2（λ），…...
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等价关系证明：高等代数中的定理有效推导详细阅读
，p-1的一个排列，利用定理1.1有a×2a×…...
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高等代数：特征值与特征向量的计算详细阅读
，λs是线性变换σ的s个不同的特征值，Ti是属于特征值λi的线性无关的特征向量组成的向量组，则向量组T1∪T2∪…，αiri线性无关，1≤i≤s，并且满足条件σ（αij）=λiαij，1≤i≤s，1≤j≤ri.下面来证明向量组是线性无关的.若有一组组合系数kij使得记向量，1≤i≤s，由于这表明，若αi≠0，则αi是属于特征值λi的特征向量，由定理5.7可知向量组α1，α2，…...
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多项式及运算，相等与加减乘法详细阅读
+a1x+a0的表达式为数域F上关于未定元x的一元多项式，其中aixi称为x的i次方项，i称为该项的次数，ai称为xi项的系数，0≤i≤n.设多项式f=anxn+…+b1x+b0∈F[x]分别是n次和m次多项式，如果n=m并且ai=bi对所有的i=0，1，…，n都成立，那么我们就称这两个多项式是相等的，记作f=g.若多项式f=anxn+…+b1x+b0分别是n次和m次多项式，记k=max{n，m}，定义多项式f和g的加法运算和减法运算如下：f+g=xk+…+x+.其中，ai=0，bi=0，n，m
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