现实生活中，很多变量的变化是连续不断的，比如气温的变化、植物的生长、物体受热时面积的变化等，都是连续的变化.这种现象在数学上用函数的连续性来反映和研究.一、连续函数的概念定义1.21 在函数y=f（x）的定义域中，设自变量x由x0变到x1，差Δx=x1-x0叫做自变量x的增量（改变量），相应的函数值的差Δy=f（x1）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）叫做函数y=f（x）的增量（见图1-1...
2023-11-22 理论教育
高等数学（上、下册）
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高等数学：定积分的概念和性质详细阅读
一、引例1.曲边梯形的面积设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上非负且连续，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0围成的图形（见图5-1）称为曲边梯形.求其面积A的基本思想是在很小的区间上用小矩形面积近似代替小梯形面积.图5-1第一步：分割.用一串分点a=x0＜x1＜…...
2023-11-22 理论教育
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高等数学（上、下册）：换元积分法详细阅读
一、第一类换元法在上一节中，虽已介绍了一些求原函数的方法，但这些方法在有些情况下是不够的.例如，∫cos2xdx就不易求解.如果令2x=u，可得代回原变量，得.一般地，设f（u）是u的连续函数，且∫f（u）du=F（u）+C，若u=φ（x）有连续的导数φ′（x），则∫f（φ（x））φ′（x）dx=F（φ（x））+C要证明上式成立，只需证明[F（φ（x））]′=f（φ（x））φ′（x）即可.因为[F...
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高等数学：有理函数积分简易解析详细阅读
一、有理函数的积分两个多项式的商称为有理函数，又称有理分式.其中，Pn、Qm分别是关于x的n次和m次的实系数多项式.当n＜m时，称为有理真分式，否则称为有理假分式.对于有理假分式，由于n≥m，应用多项式的除法，可得其中，r是多项式，而Pl是次数小于Qm的多项式.即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得，故只需讨论有理真分式的积分.设有理真分式，若分母Qm因式分解为Qm=a0（x-a）α（x-b）β…...
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高等数学：欧拉方程的求解方法详细阅读
变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的.但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中的一种.形如的方程（其中，p1，p2…pn为常数），叫做欧拉方程.作变换x=et或t=lnx，将自变量x换成t，有如果采用记号D表示对t求导的运算，那么上述计算结果可以写成一般地，有xky=D（D-1）…...
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区间与邻域的定义及分类详细阅读
一、区间与邻域1.区间定义1.1 满足不等式a＜x＜b（a＜b）的所有实数x的集合，称为以a、b为端点的开区间，记作（a，b）.类似地，有闭区间[a，b]={x|a≤x≤b}，半开区间（a，b]={x|a＜x≤b}和[a，b）={x|a≤x＜b}，它们称为有限区间.而区间（a，+∞）、[a，+∞）、（-∞，a）、（-∞，a]称为无限区间.2.邻域定义1.2 设a∈R，δ>0，数集{x|x-a＜δ}...
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椭圆曲率半径与磨损问题详细阅读
解 设椭圆.由例2可知，椭圆在点处的曲率最大，即曲率半径最小，且为图3-22显然砂轮半径不超过时才不会产生过量磨损或有的地方磨不到的问题.对于砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用砂轮的半径不应超过这工件内表面的截线上各点处曲率半径中的最小值....
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定积分的换元积分法与分部积分法详细阅读
用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分时，需要求出被积函数的原函数，由于用换元积分法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分.下面讨论定积分的这两种计算方法.一、定积分的换元积分法定理5.6 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x=φ（t）在区间[α，β]上具有连续的导数，当t在区间[α，β]上变化时，x=φ（t）的值在[a，b]上变化，且φ...
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高等数学：无穷小与无穷大详细阅读
一、无穷小定义1.18 若，则称f（x）是当x→x0时的无穷小量，又称无穷小.在上述定义中，将x→x0换成x→x0+，x→x0-，x→+∞，x→-∞，x→∞以及n→∞，可定义不同形式的无穷小.例如：当x→0时，函数x3，sinx，tanx都是无穷小.当x→+∞时，函数，，都是无穷小.当n→∞时，数列，，都是无穷小.无穷小是极限为零的变量，而不是“很小的数”.除零之外的任何常数，无论它的绝对值怎么小...
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高数：广义积分与Γ函数详细阅读
Γ函数还可以写成另一种形式可以证明例6 计算.解 .例7 计算解 ....
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圆柱形容器中的定积分应用详细阅读
例10 在底面积为S的圆柱形容器中...
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高等数学：两个重要极限的证明及应用详细阅读
），就称数列{xn}有下界.统称为有界数列.准则Ⅱ的证明从略.准则Ⅱ可推广到函数情形中去，在此不再赘述.例5 证明数列收敛，并求其极限.解 数列显然是单调递增的，是否有界很容易用数学归纳法证明，而且an+1=，利用单调有界准则，设其极限为A，则有，可得A=2.2.第二个重要极限作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明第二个重要极限证 设，先证明数列{xn}收敛.对任意的0≤a＜b和正整数n，都满足不等式事实上，=bn+bn-1a+…...
2023-11-22 理论教育
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高等数学：解二阶常系数线性齐次微分方程详细阅读
一、线性微分方程解的性质与解的结构1.n阶线性微分方程形如y+p1y（n-1）+…...
2023-11-22 理论教育
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求解差分方程，计算p和f详细阅读
5.已知φ=2x，φ=2x-3x是差分方程yx+1+pyx=f的两个特解，求p和f.6.求下列差分方程的通解或在给定条件下的特解：1）yx+2-3yx+1-4yx=0；2）yx+2+4yx+1+4yx=0；3）yx+2-2yx+1+4yx=0；4），.7.已知y=3ex是二阶差分方程yx+2+ayx-1=ex的一个特解，求a....
2023-11-22 理论教育
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微分方程基本概念详细阅读
引例例1 已知曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍，试建立其方程.解 所求曲线应满足方程例2 质量为m的物体只受重力的作用自由下落，试建立其路程s与时间t的关系.解 把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）.设物体在t时刻的位置为s=s（t），加速度.由牛顿第二定律F=ma，得这是由著名科学家伽利略研究发现的，自由落体的重力加速度为常数g.例3 某商品在t时刻的售价为P，社会对该商...
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极限运算法则-高等数学详细阅读
一、四则运算法则定理1.9 若，，则1）；2）；3）当b≠0时，.证 只证2）.因为，存在δ0>0，当0＜|x-x0|＜δ0时，|f（x）|≤M.对于任意给定的ε＞0，存在δ1＞0，当0＜|x-x0|＜δ1时，有f（x）-a＜ε成立；对于任意给定的ε＞0，存在δ2＞0，当0＜|x-x0|＜δ2时，有g（x）-b＜ε成立；取δ=min{δ0，δ1，δ2}，则当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）·g...
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