（1）若A为实对称矩阵，则①特征值均为实数，特征向量均为实向量.②不同特征值对应的特征向量正交.（即λ1≠λ2ξ1⊥ξ2（ξ1，ξ2）＝0，建方程）③可用正交矩阵相似对角化.（即存在正交矩阵P，使P－1AP＝PTAP＝Λ）见例8.12至例8.15.（2）若A为正交矩阵，则ATA＝EA－1＝ATA由规范正交基组成AT是正交矩阵A－1是正交矩阵A*是正交矩阵－A是正交矩阵.（3）若A，B为同阶正交矩阵...
2023-11-21 理论教育
张宇线性代数9讲
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线性代数求解方程组的公共解与同解问题详细阅读
求两个方程组的公共解.①齐次线性方程组Am×nx＝0和Bm×nx＝0的公共解是满足方程组的解，即联立求解.同理，可求Ax＝α与Bx＝β的公共解.这里对读者的计算能力提出较高要求，但理论上没有什么难点.②求出Am×nx＝0的通解k1ξ1＋k2ξ2＋…...
2023-11-21 理论教育
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张宇线性代数9讲：求解线性方程组详细阅读
，n.求解上述线性方程组，得解ξi，从而得X＝［ξ1，ξ2，…...
2023-11-21 理论教育
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《张宇线性代数9讲》首发十年，成为畅销书详细阅读
以《张宇高等数学18讲》为代表的考研数学36讲（包括《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数9讲》《张宇概率论与数理统计9讲》（以下简称《36讲》））正式出版已有十年了.人们说，十年磨一剑，这第十版，理应在这套书的发展历程中具有里程碑式的意义.十年间，《36讲》从汇总课堂讲义出版时的名不见经传，到现在成为广大考研考生错爱的畅销书.在感谢读者厚爱和支持的同时，我深感责任重大、战战兢兢、如履薄冰，总是在思...
2023-11-21 理论教育
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线性代数9讲：特征向量命题与重要结论详细阅读
（1）ξ（≠0）是A的属于λ0 的特征向量ξ是（λ0E－A）x＝0的非零解.（2）重要结论.①k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量（直接使用，不用证明）.②若ξ1，ξ2 是A的属于不同特征值λ1，λ2 的特征向量，则ξ1，ξ2 线性无关.【注】证 设A的特征值λ1，λ2（λ1≠λ2）对应的特征向量是ξ1，ξ2，即Aξ1＝λ1ξ1，Aξ2＝λ2ξ2.考查式①两端左乘A，得式①两边乘λ1，得③－...
2023-11-21 理论教育
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张宇线性代数9讲：求解A矩阵详细阅读
，αm，βT线性无关.例5.16 已知齐次线性方程组A2×4x＝0的基础解系为ξ1＝［1，－1，3，2］T，ξ2＝［2，1，1，－3］T，则A＝________.应填，其中k1，l1，k2，l2 是不全为零的常数，且k1l2≠k2l1.由题设条件知，Aξ1＝0，Aξ2＝0，即两边转置，得作齐次线性方程组对系数矩阵作初等行变换，有取y2＝0，y3＝k，得，则解向量为取y2＝l，y3＝0，得，则解向量为其中k1，l1，k2，l2 是不全为零的常数，且k1l2≠k2l1....
2023-11-21 理论教育
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特征值与特征向量的定义详细阅读
设A是n 阶矩阵，λ是一个数，若存在n维非零列向量ξ，使得则称λ是A 的特征值，ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量.由①式，得ξ＝0，因ξ≠0，故齐次方程组x＝0有非零解，于是②式称为A 的特征方程，是未知量λ的n次方程，有n个根，λE－A称为特征矩阵，|λE－A|称为特征多项式.求出λi（i＝1，2，…...
2023-11-21 理论教育
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证明AB行向量γi的关键依据详细阅读
，αs）.这是证明的关键依据.将B，AB 按行分块为，于是所以AB 的行向量γi（i＝1，2，…，αs＋βs］.因αi＋βi（i＝1，2，…，s）均可由向量组α1，α2，…，αp 扩充成［A，B］的极大线性无关组，设为α1，α2，…...
2023-11-21 理论教育
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向量组等价与矩阵等价的区别及条件详细阅读
给出向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αs 线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.其等价的充要条件是r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）＝r（Ⅰ，Ⅱ）.向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价要同型，当然行数、列数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.A，B同型时，ABr＝rPAQ＝B.αi，βj（i＝1，2，…，βt 这两个向量组中的某一个向量组可由另一个向量组线性表出r（α1，α2，…...
2023-11-21 理论教育
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张宇线性代数9讲：坐标变换方法详解详细阅读
，αn］经过若干次初等行变换得B＝［β1，β2，…...
2023-11-21 理论教育
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线性代数习题解法+例题讲解详细阅读
，s）均可逆，则A可逆，且见例3.16.例3.12 已知，写出A可逆的一个充要条件，当A可逆时，求A－1.A可逆故当ad－bc≠0时，例3.13 设n阶方阵A 满足A3－2A2＋3A－4E＝O，则A－1＝________.若能找到n阶方阵B，使得AB＝E，则A－1＝B.这样的B应利用题设条件去找.应填由题设条件A3－2A2＋3A－4E＝O，移项得A3－2A2＋3A＝4E，左端提出公因子，得 A＝4E，即故知A可逆，且类似本题的一般问法：设f是多项式，且f＝akxk＋ak－1xk－1＋…...
2023-11-21 理论教育
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实对称矩阵的合同及相似判定详细阅读
（1）同阶实对称矩阵A，B合同的判定.①用定义法：A，B合同存在可逆矩阵C，使得CTAC＝B.②用正、负惯性指数：A，B合同pA＝pB，qA＝qB.（相同的正、负惯性指数）③用传递性：A合同于C，C合同于B，则A合同于B.【注】同阶矩阵A，B相似的判定.（1）用定义法：A，B相似存在可逆矩阵C，使得C－1AC＝B.（2）用传递性：A相似于C，C相似于B，则A相似于B.（常考C为Λ 的情形）（3）用...
2023-11-21 理论教育
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线性代数9讲：A相似于B，求B的方法详细阅读
（与第7讲、第8讲综合，考生需学习相关知识后再研读此点）（1）见例1.13，例1.14.（2）若A相似于B，则例1.9设A＝［α1，α2，α3］是3阶矩阵，且|A|＝5，若B＝［α1－3α2＋2α3，α2－2α3，2α2＋α3］，则|B|＝________.【解】应填25.方法一 利用行列式的性质.|B|＝|α1－3α2＋2α3，α2－2α3，5α3|＝5|α1－3α2＋2α3，α2－2α3，α3...
2023-11-21 理论教育
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解含参数的线性方程组|张宇线代9讲详细阅读
，n）不全为零，不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为当时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为由此得原方程组的同解方程组为x2＝x1，x3＝x1，…，1］T.本题是n个方程n 个未知数，且系数矩阵是特殊形式，故可利用行列式去分析解的情况.例5.5 k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？...
2023-11-21 理论教育
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张宇线性代数9讲中的三考法：解析，矩阵乘法规则，线性组合详细阅读
，0］，则Aβi＝0（i＝1，2，…，s）是Ax＝0的解.设矩阵Am×n，Bn×s，若AB＝C，则C是m×s矩阵.将B，C按行分块，有则γi＝ai1β1＋ai2β2＋…，m），故C的行向量是B 的行向量的线性组合.类似地，若A，C按列分块，则有则ξi＝α1b1i＋α2b2i＋…...
2023-11-21 理论教育
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线性代数讲义：求极大线性无关组及相关问题详细阅读
，αn.初等行变换不改变列向量组的线性相关性.求此极大线性无关组.①构造A＝［α1，α2，…并在此时将向量α＝［4，1，6，10］T用α1，α2，α3，α4 线性表示；p为何值时，该向量组线性相关？...
2023-11-21 理论教育