定义1称满足条件xn≤xn＋1（n＝1，2，…）即｛xn｝单调增加.下面再证｛xn｝上有界：由xn的展开式可知即｛xn｝上有界.因此该数列｛xn｝单调增加且有上界，由准则Ⅱ可知，极限存在，将该极限用字母e表示，即可证明e是一个无理数，且2＜e＜3，它的值为e＝2.718 281 828 459 045…...
2023-11-19 理论教育
高等数学 上册
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初等函数连续性-高数上册详细阅读
）时无意义，故x＝kπ（k＝0，±1，±2，…）均为的间断点.当x＝0时，由于故x＝0为f的第一类可去型间断点；当x＝kπ（k＝±1，±2，…）为f的第二类无穷型间断点....
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高等数学证明：极限不存在详细阅读
若在自变量的某个变化过程中，函数f（x）不能与某个确定的值无限接近，则f（x）在此变化过程中的极限不存在.极限不存在的具体情况可能很复杂，下面举出几种常见的类型.1）当x→x0或x→∞时，函数的绝对值无限增大如果在x的某一变化过程中，对应函数f（x）的绝对值｜f（x）｜无限增大，那么f（x）就不可能向某一定值逼近，因此f（x）在此变化过程中的极限就不存在.这时，虽然极限不存在，但由于｜f（x）｜是...
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高等数学上册：无穷区间反常积分解析详细阅读
定义1设函数f（x）在区间［a，＋∞）上连续，任取t＞a.如果存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间［a，＋∞）上的反常积分（简称无穷积分），记作这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分发散.类似地，可定义函数f（x）在无穷区间（－∞，b］上的反常积分：任取t＜b，则对于函数f（x）在（－∞，＋∞）上的反常积分，可用前面两种无穷积分来定义：其中c为任一实数，当且仅当右边两个无穷积...
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无穷小量比较：高等数学上册详细阅读
我们已经知道两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小，但两个无穷小量的商的情形就较为复杂，例如下面几个简单的无穷小量的商的极限：从上面三个极限中就看出：虽然当x→0时，x3，x2，x，1－cosx都是无穷小，但它们比值的极限却有着各自不同的情形，分析这些情形产生的原因，发现是由于各个无穷小趋于零的快慢程度不同而造成的.就上面的例子来说，在x→0的过程中，x2→0的速度比x→0要快，x2→0的速度比x3→...
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高等数学上册：有理函数积分详细阅读
两个多项式的商称为有理函数，其中n和m是非负整数，且a0≠0，b0≠0.当n≥m≥1时，称式（4－5）所表示的函数为有理假分式函数；当n＜m时，称式（4－5）所表示的函数为有理真分式函数.当f是假分式时，利用多项式的除法，可将它化为一个多项式与一个真分式的和.例如，因此有理函数的积分问题可归结为求真分式的积分问题.1）有理函数的分解定理1设有真分式（4－5）式，若Qm＝b0（x－a）α…（x－b）βλ…...
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高等数学：函数基本性态详细阅读
初等数学中已经简单介绍了函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性，下面分别对它们作简要概括.1）有界性定义3设函数f（x）在区间I上有定义，若存在数M1，使得当x∈I时，恒有f（x）≤M1则称函数f（x）在数集I上有上界，M1为f（x）在I上的一个上界；若存在数M2，使得当x∈I时，恒有f（x）≥M2则称函数f（x）在数集I上有下界，M2为f（x）在I上的一个下界；若f（x）在数集I上既有上界，又有...
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高数上册-函数概念快速了解详细阅读
＋anxn这里ai（i＝0，1，2，…...
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高等数学上册：不定积分的分部积分法详细阅读
上节我们在复合函数求导法则的基础上，给出了转化不定积分的重要方法——换元积分法.但有很多积分如等利用换元积分仍然无法积出.本节将在函数乘积的求导公式的基础上，推导出转化不定积分的另一重要方法——分部积分法.设函数u＝u（x），v＝v（x）具有连续的导数，那么两个函数乘积的求导公式为（uv）′＝u′v＋uv′移项得uv′＝（uv）′－u′v对上式两边积分得或公式（4－2）或（4－3）称为不定积分的分...
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高等数学上册：极限性质详细阅读
利用函数极限的定义，可得下列极限的性质.1）唯一性定理2若存在，则极限唯一.证（反证法）假设极限不唯一，则存在两个不相等的常数a，b，使得均成立.不妨设b＞a，由于取则δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，恒有即又由于仍取则δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，恒有即取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，上面（1－5）、（1－6）两式均成立，但这是不可能的....
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高等数学上册：光滑曲线弧的长度计算详细阅读
图3－15如果函数y＝f（x）在区间（a，b）内有连续的导数，这时切线沿曲线是连续变化的，称这种曲线y＝f（x）是（a，b）内的光滑曲线.理论上可以证明：光滑曲线弧是可以求长度的.在（a，b）内光滑曲线y＝f（x）上取定一点M0（x0，y0）作为度量曲线弧长的基点（图3－15），并规定沿x增大的方向为曲线的正方向（弧长增加的方向），对曲线上任意的点M（x，y），规定有向弧段的值s（x）（也称弧函数...
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自变量x趋无穷大时的函数极限：高等数学上册详细阅读
观察函数当x趋近于∞时发现：当x趋近于∞时对应的函数值无限地与数值0接近，即当因此数值0为函数当x→∞时的极限.设a为某常数，如果当｜x｜无限增大时，函数f（x）与a可无限地接近，则称a是函数f（x）当x→∞时的极限，记作或f（x）→a（当x→∞时）.式“x→∞”表示自变量x的绝对值无限增大的变化过程，在数轴上看，“x→∞”表示x沿着数轴向两边（或分别向右、左）移动，并离原点的距离越来越远，直至无...
2023-11-19 理论教育
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高等数学：变力沿直线做功详细阅读
解如图6－25所示建立坐标系.取x为积分变量，x∈［2，8］.图6－25考察区间［x，x＋dx］上的一薄层水，将这薄层水“提到”池口的距离为x，将这层水抽出，克服重力所做的功为于是...
2023-11-19 理论教育
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高数上：初等函数导数详细阅读
由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次函数复合而构成的用一个解析式表示的函数，因此结合前面的求导法则与求导公式可推得：初等函数在其定义区间上处处可导，其导函数只要按照函数的结构，利用相应的求导公式或法则就可求出.例10求下列函数的导数：解（1）y′＝e2t＋t·2e2t＝（1＋2t）e2t.（2）由于故例11设求F′（x）.解当x≠1时，F（x）在相应的定义区间上都是初等函...
2023-11-19 理论教育
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高等数学第一册牛顿-莱布尼茨公式解析详细阅读
解首先计算开始加速到匀速行驶所需的时间，即匀加速运动从v0＝0到v＝180km／h所需的时间：由匀加速运动的速度v＝v0＋at＝0.5t＝50，得t＝100s.因此火车开始匀速行驶的地方到车站的距离应为：例9计算解被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号后再积分，即分段积分....
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子极限的定义与性质，自变量的变化过程及其限制详细阅读
上面我们讨论了x→x0与x→∞时函数极限的定义及性质，其中自变量的变化过程x→x0是指自变量x沿x轴从x0的左、右两侧趋于x0，x→∞是指自变量x沿x轴左、右两侧离原点越来越远，趋于无穷远.但有时所讨论的极限中，其自变量的变化过程只须沿某一侧（左侧或右侧）变化，例如考察极限时，由于受函数的定义域限制，自变量在x→0的变化过程中，x只能从0的右侧趋近于0，该变化过程相当于在变化过程“x→0”中增加了...
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