设(X,d)是一完备的度量空间,T 是X 的自映像.T 称为非扩张映象(以后称为第(1)类非扩张型映象),如果d(Tx,Ty)≤d(x,y)x,y ∈X.非扩张映象是Banach 压缩映象的一种自然的推广,这种映象在近代许多数学分支,其中特别是在非线性半群、遍历理论和单调算子理论有许多重要的应用.一般说来,非扩张映象不一定存在不动点,所以下面将介绍非扩张映象不动点的存在性.先介绍非扩张型映象的分类...
2023-10-20 理论教育
不动点与零点的迭代逼近及应用
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不动点问题简介-不动点与零点的迭代逼近及应用详细阅读
数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x 的形状,这里x 是某个适当的空间X 中的点,f 是从X 到X 的一个映射或运动.把每一点x 移到点f(x),方程f(x)=x 的解恰好就是在f 这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.即这个函数映射到其自身一个点.于是,解方程的问题就转化成了找不动点这个几何问题.不动点问题实际上就是各种...
2023-10-20 理论教育
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数值解逼近及应用：不动点与零点的迭代逼近详细阅读
分裂可行问题Split Feasibility Problem(SEP)是由Censor 和Elfving 在1994 首先提出的,该问题描述如下:寻找一个点x使得其中C 和Q 分别是Hilbert 空间H1和H2的非空闭凸子集,A 是由H1到H2的有界线性算子.在过去20年,许多学者都对分裂可行问题的数值逼近进行了研究提出了若干算法,比如Byrne 展示了他们的CQ 算法,杨庆之介绍了松弛CQ算...
2023-10-20 理论教育
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Banach空间伪压缩映象的不动点定理详细阅读
E 为一实Banach 空间,E为E 的对偶空间,〈·,·〉表示广义对偶对,称J∶E→2E为正规对偶映象,如果Jx={f ∈E∶〈x,f 〉=‖x‖2=‖f ‖2},x ∈E.今后均用j 表示单值赋范对偶映射.设E 为一实Banach 空间,E为E 的对偶空间,C 为E 的一个闭凸子集.若S={x ∈E,‖x‖=1}为E 的单位球面,对任意的x,y ∈S,一致存在,则称E 的范数是一致Gateau...
2023-10-20 理论教育
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迭代逼近理论在单调算子方程解的应用详细阅读
对于单调算子方程Tx=0 的求解问题,比增生算子方程的求解要复杂许多.若E 是希尔伯特空间,则求解单调算子方程等同于求解增生算子;若E 是Banach 空间,当算子T:E→E 时,可以借助单位算子I 来分析方程Tx=0 的解;但是当算子T:E→E或者T:E→E 时,单位算子I 的功能失效,此时考虑方程Tx=0 的解难度将增大.对于后者,通常的方法是借助正规对偶算子J 的性质来处理方程Tx=0 的解...
2023-10-20 理论教育
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Hilbert空间非扩张映象的不动点定理及应用详细阅读
下面将给出几个关于第(1)类非扩张映象在Hilbert 空间上的定义和定理.定理1(Browder-Petryshyn)设H 是一个Hilbert 空间,C 为Hilbert 空间H 的非空有界闭凸子集.设T∶C→C 使第(1)类非扩张型映象,则T 在C中存在不动点.通常用F(T)来表示T 的不动点集,即F(T)={x ∈C∶Tx=x}.定理2(Browder)设X 是一致凸Banach 空间...
2023-10-20 理论教育
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迭代逼近：不动点与零点的应用详细阅读
设X 和Y 是两个线性赋范空间,其范数为‖·‖X 和‖·‖Y.令V,W分别是X,Y 的子集,F:V→W 是一映射.(ⅰ)直接问题是指由x∈V 来确定y=F(x),(即,由起因得出结论);(ⅱ)反问题是对任意的y∈W 通过y=F(x)来决定x∈V,(即,由结论推出起因);(ⅲ)映射F 被称为直接映射.关于反问题(也称逆问题)的研究,早期的工作可追溯到20 世纪20年代美国的Hadamard 教授在研...
2023-10-20 理论教育
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不动点与变分不等式的关系详细阅读
设H 是一个实Hilbert 空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉 和‖·‖,K 是一个H 中的非空闭凸集.T∶H→H 是一个非线性映射,g∶H→H 是一个非线性连续可逆映射.考虑包含非线性算子的一般变分不等式问题:求u ∈H,g(u)∈K 满足〈Tu,g(v)-g(u)〉 ≥0,g(v)∈K.当g=I 时,即转化为经典的变分不等式问题:〈Tu,v-u〉 ≥0,v ∈K.定义1称映射T∶H→H...
2023-10-20 理论教育
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不动点与零点的迭代逼近理论详细阅读
,cn)是依赖于参数c0,c1,…,cn的初等函数.用P(x,c0,c1,…,cn)来近似表示f,要求选择一组参数使误差最小.这就是寻求极小问题的解.当参数给出最小误差时,就把叫作f在P(x,c0,c1,…,cn)所构成的函数类中的一个最佳逼近元;数值P叫作f借助于函数P(x,c0,c1,…...
2023-10-20 理论教育
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不动点与零点迭代逼近及应用详细阅读
变分不等式是非线性互补问题的推广,它的提出统一了优化问题和均衡问题的研究,并且在数学领域内作为大量数学问题实际求解的统一框架.变分不等式广泛应用于工程优化,经济学和交通运输的平衡问题,对数学各个领域、计算机科学等方面都产生了巨大的影响.经典变分问题的推广和发展,将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法.它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具,也...
2023-10-20 理论教育
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增生算子方程的逼近理论详细阅读
在增生算子的理论中,一个归功于Browder 的早期的基本成果是,若T是E 上的局部李普希兹增生算子,则初值问题有解.进一步利用该方程的存在性结果,Browder 证明了如果T 是局部李普希兹连续的增生算子,则T 是m-增生的.特别地,对任意的f∈E,方程x＋Tx=f 有解,后来Martin 证明了当T 是连续增生算子时,上面的初值问题有解,从而推广了Browder 的结果.而且利用该结果,他还证...
2023-10-20 理论教育
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单调算子与增生算子的迭代逼近及应用详细阅读
)∈l∞使得μ≤α 对任意的Banach 极限.若≤0,则≤α....
2023-10-20 理论教育
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不动点及零点的迭代逼近及应用详细阅读
除了前面两节介绍的在Hilbert 空间和Banach 空间中关于伪压缩映射的一些不动点定理之外,伪压缩映射的不动点定理还可以通过其他的方式来体现,比如通过空间的构造,利用投影的混合算法实现序列的收敛性等.称T 为渐近λ-严格伪压缩映象,如果存在常数λ ∈[0,1),使得称T 为渐近伪压缩映象,如果存在常数使得〈T nx-T ny,x-y〉≤kn‖x-y‖2,n ≥1,x,y ∈C.设H 为一实H...
2023-10-20 理论教育
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不动点定理及相关概念简介详细阅读
,fk是关于变元x1,x2,…,xn的一组n 元多项式.方程组f1=f2=…=fk=0 无公共零点的充要条件是:存在另一组n 元多项式a1,a2,…,ak,使得a1f1＋a2f2＋…...
2023-10-20 理论教育
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不动点与零点定理应用详细阅读
E 为一实Banach 空间,E为E 的对偶空间,〈·,·〉表示广义对偶对,称J∶E→2E为正规对偶映像,如果Jx={f ∈E∶〈x,f 〉=‖x‖2=‖f ‖2},x ∈E.今后均用j 表示单值赋范对偶映射.若E 中存在序列{xn}弱收敛到x,使得J(xn)依范数弱收敛到J(x),则称E 具有弱连续对偶映射.若S={x ∈E∶‖x‖=1}为E 的单位球面,对任意的x,y ∈一致存在,则称E 的范...
2023-10-20 理论教育
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不动点与零点迭代逼近应用详细阅读
布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更一般的不动点定理的基础,在泛函分析中尤其重要.1904年,首先由Piers Bohl 证明n=3 的情况(发表于《纯粹及应用数学期刊》 之内).1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L．E．Brouwer)再次证明.1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明.这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想...
2023-10-20 理论教育