有了带号面积，就可以引入面积坐标了。在式中，若S＞0，便称为右手坐标系，S＜0称为左手系。这时，便叫做M＝的齐次面积坐标。这样，面积坐标实际上包括了重心坐标、仿射坐标、直角坐标等多种坐标。在面积坐标系里推出一个公式来，马上可以变换成在其他坐标系里的公式。从式中消去参数λ，得这就是M、M1、M2三点共线的条件，也可以看成M的面积坐标所满足的直线方程式。这就是面积坐标系或重心坐标系里直线方程式的一般形式。...
2023-10-17 理论教育
从数学教育到教育数学
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数学教育与教育数学：创造新体系的逻辑后盾详细阅读
前面引入的新体系，逻辑结构图示见下页。欧氏几何的公理体系不止一种。欧几里得最早提出的公理体系是不严密的，现在大家所用的是由希尔伯特改进之后的公理系统，共5组20条。近代数学中，还有基于向量空间的外尔公理体系、基于距离概念的布鲁门塞尔公理体系等。我们提出的下列公理体系，主要是为了数学教育而创设，特别是为了中学数学教育的需要。这个新公理体系，是以度量为主体的公理体系。这些点之间的关系满足以下公理。...
2023-10-17 理论教育
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从数学教育到教育数学，逻辑展开与平行线定理详细阅读
命题5.4.1设M、N两点在直线AB的同侧，则MN∥AB的充分必要条件是△MAB＝△MAB。这是上一小节已证明的例题5.3.9。命题5.4.2两直线AB、CD和另一直线l交于P、Q，若同位角相等，则AB∥CD。于是，共角比例定理可以完善成为命题5.4.4若△ABC与△A′B′C′中，有∠A＝∠A′或∠A+∠A′＝180°，则。命题5.4.5PQ∥AB，若直线l与AB垂直，则l也和PQ垂直。推论5.4.2平行线处处等距。推论5.4.3若直线l1∥l2，而l3与l1、l2相截，则内错角相等。...
2023-10-17 理论教育
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从数学教育到教育数学：深入探索一个开门见山的体系详细阅读
定义4.3.1 边长为1，有一个角为α的菱形的面积，叫做角α的正弦，记作sinα＝Sα。命题4.3.1在△ABC中，设BC＝a。把三角形面积公式各项同除以，立刻得到：正弦定理 在任意△ABC中，有这个定理的用处之大是众所周知的。在式中，我们取α+β＝90°，可立刻得到重要的命题。这样，为“余角的正弦”创设一个新符号将十分方便，余弦应运而生：定义4.3.2一个角α的余角的正弦，叫做α的余弦，记作cosα。...
2023-10-17 理论教育
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数学教育变革：从教育数学到数学教育详细阅读
仅仅这样说一下，并不足以证明教育数学就有权存在，还必须说明再创造的必要性与可能性。在数学的大后方，也并非无事可做。因此，为了数学教育的目的，我们应当用“批判”的眼光审视已有的数学知识。前面，我们着重讨论平面几何、极限概念和实数理论，也正是因为它们是公认的难点。难点，给教育数学提供了课题。这是教育学与数学面临的问题，是数学教育与教育数学的共同任务。教育数学，还怕没有事做吗？...
2023-10-17 理论教育
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《教育数学》：新教材的要求详细阅读
笔者认为，应当从数学教育这个大系统的全局需要来提出对几何教材的要求，应当建立起更合理、更容易学习，能够和欧几里得体系相竞争，且足以吸引学生的几何体系。我们所期望的新教材，推理手法应当是简洁的。想要获得同样的结论，它的逻辑步骤应当比欧几里得体系大为减少。就像一个方程组，如果条件要求得多了，很可能无解。我们无法教条式地作出预言，我们也不应让“可能无解”的噩梦束缚自己的手脚。...
2023-10-17 理论教育
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面积与自然对数：从数学教育到教育数学详细阅读
为底的对数——自然对数。若用曲线y＝下的面积引入自然对数lnx，则显得简单具体、直观性强，而且涉及的基础知识少，还把平面几何、解析几何与高等数学更密切地联系起来了。推论6.3.3对任意λ＞0，有①也可不用压缩变换，直接用求导方法证明sx1＝sλxλ。至此，可以引入自然对数了。定义6.3.2对0＜x＜+∞，记＝lnx，并称函数y＝lnx为x的自然对数。从两个定义及三个推论中，立刻得到自然对数的一系列性质。...
2023-10-17 理论教育
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面积计算：了解多面手的数学原理详细阅读
如图4-8，半径为的圆的面积恰为4，即等于正方形ABCD的面积。当然，一个角域的面积正好等于一个弓形域的面积。一眼就能看出，扇形的面积小于△OAD而大于△OAB。在高等数学中，面积以各种形式出现。面积是积分，是测度，是外微分形式，是向量的外积，也是行列式。抓住面积，结合代数与三角来展开初等几何，就极有希望提供一种比传统几何教材更易学、更生动丰富的几何教材，提供一种足以和欧几里得体系争夺课堂的几何教材。...
2023-10-17 理论教育
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8个指头强于10个指头-数学教育与教育数学详细阅读
珍贵的遗产，同时又是沉重负担。为了使珍贵的遗产传到下一代手中时更易使用和理解，人们付出了艰辛的劳动。这种文化改造工作很艰难；因为当人们发现“遗产”应当加以改造时，往往已经晚了。在这些珍贵的遗产当中，最基本的部分除语言文字外，恐怕要算数学了。看看十进制记数法吧，这可是全世界人民的共同财富。丢掉最左边的0，就是11001111。反过来，二进制下的1010110，自右向左，3个码一组，看成001，010，110，也能直译成八进制下的126。...
2023-10-17 理论教育
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从数学教育到教育数学：连续归纳法应用详细阅读
有了连续归纳法，数学分析里的一系列涉及实数连续性和连续函数性质的定理，就可以用统一的模式来证明。以下用连续归纳法证明：这将推出每个实数都是{bn}的下界，即得矛盾。由连续归纳法，px对一切x成立。[例8.3.6]设f在[a，b]上连续，f＜0，f＞0，则至少有一个点x0∈（a，b），使f＝0。[例8.3.7]若f在[a，b]上连续，则f在[a，b]上取到最大值和最小值。...
2023-10-17 理论教育
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欧几里得的体系：为数学带来美丽花园，却缺乏解题方法详细阅读
是空间形式本身难于认识，还是欧几里得的体系不够好，把本来容易认识的东西讲难了呢？好的交通系统，应当有“放射型”的交通中心。欧几里得把我们引进了一座精巧雅致的古代园林，这儿有目不暇接的美景，却没有简单明了的交通指南。欧几里得体系的又一个令人头痛的问题，是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。所以说欧几里得给我们的几何，不仅是数学，更是艺术！欧几里得为我们留下一个美丽但相对封闭的花园。...
2023-10-17 理论教育
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方块字对我国文化交流的阻碍详细阅读
方块汉字，是祖宗留给我们的一份珍贵的文化遗产。这些艺术明珠，无不和方块汉字息息相关。但是，正像鲁迅早就指出的那样，方块汉字，是我们民族身上的一个沉重负担。在电子计算机向各个领域渗透的今天，方块字这个包袱，显得更加沉重。而汉字系统呢，至今还是热门的研究课题。）方块字还阻碍了我国与世界上其他许多国家的文化交流。据说，这也和汉字之难大有关系。而我们的子孙后代，又将在方块字上比人家多付出多少劳动啊！...
2023-10-17 理论教育
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从欧几里得到布尔巴基：数学教育的转变详细阅读
然而有趣的是，布尔巴基要求加入美国数学会的申请被拒绝了。理由很简单，因为美国数学会认为，世界上没有这个名叫布尔巴基的人。布尔巴基强烈抗议，然而没有用。因为事实上确无此人，布尔巴基是一个集体的笔名。布尔巴基们把数学归结为“研究抽象结构的理论”。布尔巴基的书，成为数学家们的高级教程。欧几里得、柯西、布尔巴基，他们是站在数学发展的前沿进行再创造活动。...
2023-10-17 理论教育
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教育实践中的困难与成果揭秘详细阅读
“实践”表明失败了的也未必真的不好，习惯的势力是强大的，心理因素往往给新方案的推行带来难以逾越的困难。如果要用实践证明新方案是好的、行得通的，至少要一代人的努力，20年的光阴。所以，在真刀真枪的教学实践之前，还应当作个预测，作个比较。...
2023-10-17 理论教育
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珍贵遗产：微积分的重要性详细阅读
确实，微积分学是前人留给我们的科学文化遗产中最珍贵的瑰宝之一。当牛顿创立微积分时，这一崭新的强有力的数学方法的基础是极不完善的。微积分方法的灵魂是“无穷小”。但是，对“无穷小”的攻击与嘲讽，依然同暴风雨般向初生的微积分袭来。以此为基础，极限理论也终于建立起来，这为微积分大厦提供了坚实的基础。微积分，这又是前人留下的一份珍贵遗产，而且是我们必须继承的遗产。...
2023-10-17 理论教育
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面积法：古老的证题工具为你带来新视角详细阅读
几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。而且，面积很早就成为人们认识几何图形性质与证明几何定理的工具。勾股定理的证法，多达300余种。细心的读者会发现：把图4-1沿虚线剪掉一半，中国的古老证明就变成了加菲尔德的证明！从勾股定理的这几个证法，可以归纳出面积方法的一个基本模式：用不同的办法求出同一块面积，得到一个等式，再从这个等式推出所要的结论。...
2023-10-17 理论教育