，en＋p，即这里KABCD是N的曲率张量．本讲下标A，B，C，D，E，…，n＋p｝．可以知道定义曲率KBACD关于方向eE的协变导数KBACD，E如下：如果所有的KBACD，E都等于零，则Riemann流形N称为局部对称的Riemann流形．当时，这里C*是一个实常数，称N是具有常曲率C*的空间．请读者自己证明常曲率空间是局部对称的Riemann流形．在N内，选择一个局部正交标架场e1，e2，…，en，en＋1，…，en＋p，使得限制于M，向量e1，e2，…，n｝，α∈｛n＋1，…...
2023-11-23 理论教育
在本讲，p＝1，简记为hij，利用第3讲内公式（1．3．20），可以看到在n＋1维常曲率C*的空间内，对于n维超曲面M，在本讲，M的平均曲率H和数量曲率R都是常数，利用上式，M的第二基本形式长度平方S也是常数．在这些条件下，公式（1．6．1）可简化为下述公式：利用第1讲内公式（1．1．10）和（1．1．33），即利用（1．3．34），（1．1．43），（1．1．47），有这里hijkl的沿es方向...
2023-11-23 理论教育
本讲考虑4维欧氏空间R4内3维完备连通非零常平均曲率和非负常数量曲率超曲面．上一讲公式（1．6．61）以前的全部公式都可以在本讲应用．在本讲，H是非零常数．令利用上一讲上公式（1．6．2）及上式，有而且利用（1．7．1），有从下面开始，n＝3，C*＝0．即考虑R4内具有非零常平均曲率H和非负常数量曲率R的完备连通超曲面M．在M上的任一点P上，选择M的切向量e1，e2，e3，使得hij＝λiδij，...
2023-11-23 理论教育
，en＋1，限制于N，en＋1是N的单位外法向量，ω1，ω2，…，xn＋1的二次函数，即这里aB和b都是实常数，x1，x2，…，xn＋1是Rn＋1内直角坐标系的坐标．由方程的边界条件，公式限制在M上，有这恰说明闭超曲面M是Rn＋1内n维球面．下面讲述另一个著名的定理．设M是n＋1维欧氏空间Rn＋1内一个n维嵌入超曲面．由第1章第6讲公式，可以知道这里R是M的数量曲率，平均曲率由定义．由第1章第7讲公式...
2023-11-23 理论教育
下述平面上简单光滑闭曲线的等周不等式是众所周知的：这里M是平面内一区域，M的边界M是一条简单光滑闭曲线．A是M的面积，L是M的长度．本讲考虑n维欧氏空间Rn内极小曲面的情况．定义Rn内一个二维曲面M的边界曲线M称为弱连通的，如果存在Rn内一个直角坐标系｛x1，x2，…...
2023-11-23 理论教育
我们知道，紧流形上的光滑函数有最大值．那么，对于完备Riemann流形呢？，en，沿测地线ρ，en＝，这里s是这测地线的弧长．M的互相垂直的单位切向量场e1，e2，…，en－1沿ρ是平行移动的．记是沿测地线ρ的Jacobi场，满足＝0，＝ei，这里为方便，沿测地线ρ的ei简记为ei．利用公式和，在r的可微分点，在r＞0的点及不在点P的割迹之内，r是光滑的（什么是割迹呢？...
2023-11-23 理论教育
历史上称其为Minkowski问题．在Rn＋1内，给定一个严格凸的闭超曲面，对于Sn上一点r＝（x1，x2，…...
2023-11-23 理论教育
，n＋p｝．又由第1讲公式可以知道S．于是，公式可以改写为p×p矩阵（Sαβ）显然是一个实对称矩阵，在M的任意一点，利用线性代数知识知道，可选择en＋1，…...
2023-11-23 理论教育
本讲内容是上一讲定理的一个改进．先介绍一些引理．引理1设A1，A2是两个n×n实对称矩阵，已知Sj＝N，j＝1，2，以及S1＝S2，则证明由上一讲引理2，知上式两端都加上，则引理1成立．下面研究三个或三个以上n×n实对称矩阵A1，A2，…...
2023-11-23 理论教育
设M是欧氏空间Rn＋p内一个n维（局部）等距浸入子流形．记M在Rn＋p内的位置向量场为X，有M的第一基本形式这里〈，〉表示Rn＋p的内积，〈ei，ej〉＝δij．M沿单位法向量eα的第二基本形式这里利用了Weingarten公式．本讲的下标i，j，k，l，…，n．记利用的第一式，要证明考虑方程组是Rn×Rn＋p的一个开集内的n＋p个独立的Pfaff方程组，即在局部是含dx1，dx2，…，dFn＋p的一组独立的Pfaff方程组．而且满足及dF＝，i＝1，2，…...
2023-11-23 理论教育
设M是Rn＋1内一个完备连通可定向的（n维）稳定极小超曲面，M是否为超平面？这在历史上称为Bernstein猜测．本讲利用Cartan活动标架法及上一节引理2，来展开此问题的部分讨论．设M是Rn＋1内一个极小超曲面，在Rn＋1内选择一个局部正交标架场e1，e2，…，en＋1，使得限制于M，向量e1，e2，…，n｝．利用第1章第3讲的公式，注意C*＝0，p＝1，有S是Rn＋1内M的第二基本形式长度平方．在M的任意一点上，选择e1，e2，…...
2023-11-23 理论教育
，xn＋1）是Rn＋1内单位球面Sn的位置向量场，u是Sn上一个光滑函数．在Rn＋1内引入一个超曲面M，其位置向量场这里eur是eur的缩写．显然M是一个微分同胚于Sn的闭超曲面．下面计算M的平均曲率．在Sn上，选择一个局部正交标架场e1，e2，…...
2023-11-23 理论教育
，em，利用公式，由计算，可以看到同前面一样，这里下标j表示函数沿ej方向的协变导数．取正小数ε，令利用ε是正小数，以及0＜k≤1，有0≤aε＜1．利用公式，和，有由于M是闭流形，设F在M内某点x0达到最大值，则于是，利用，有在点x0，利用公式的第一式及，有上式两端乘以vj，且关于j也从1到m求和，在点x0，有利用公式的第二式、和，在点x0，有这里ω1，ω2，…，ωm是M上切向量e1，e2，…...
2023-11-23 理论教育
V（0）就是M的体积，可将V（t）视为Ft（M）的体积，因为当每个Ft都是整体等距嵌入时，V（t）的确是Ft（M）的体积．将公式（2．3．28）代入（2．3．25），有引理1（体积第一变分公式）因此，利用引理1，对任意的变分向量场W（x），体积的第一变分等于零的充要条件是x∈M，H（x）恒等于零．引理1给出了极小子流形的一个几何解释．另外，可以知道公式（2．3．29）和（2．3．30）给出了W（...
2023-11-23 理论教育
，xn＋2）Rn＋2，这里＝1，由上式，有依此公式，当代著名的微分几何学家猜测Sn＋1内闭极小嵌入超曲面的Laplace算子的第一特征值本讲的两个定理是解决上述猜测的一个起点．参考文献［1］R．C．Reilly．Applications of the Hessian operator in a Riemannian manifold．Indiana Univ．Math．Jour．，Vol．26：459-472．［2］H．I．Choi and A．N．Wang．A first eigenvalue estimate for minimal hypersurfaces．Jour．Diff．Geom．，Vol．18：559-562．...
2023-11-23 理论教育