液体动力学中的流量连续性方程

2025-09-29 历史故事版权反馈

【摘要】：令此流量与上述实际流量相等，得则平均流速为2.流量连续性方程流量连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。

本节主要讨论三个基本方程式，即液流的连续性方程、伯努利方程和动量方程。它们和刚体力学中的质量守恒、能量守恒及动量守恒原理相对应，都用于描述运动物体的力学特性。液流的连续性方程、伯努力方程描述了压力、流速与流量之间的关系，以及液体能量相互间的变换关系，动量方程描述了流动液体与固体壁面之间作用力的情况。

1.基本概念

（1）理想液体与恒定流动液体具有黏性，并在流动时表现出来，因此研究流动液体时就要考虑其黏性，而液体的黏性阻力是一个很复杂的问题，这就使我们对流动液体的研究变得复杂。因此，我们引入理想液体和恒定流动的概念。理想液体就是指没有黏性、不可压缩的液体。我们把既具有黏性又可压缩的液体称为实际液体。

液体流动时，若液体中任何一点的压力、速度和密度都不随时间而变化，则这种流动就称为恒定流动（定常流动或非时变流动）。在流体的运动参数中，只要有一个运动参数随时间而变化，液体的运动就是非恒定流动或非恒定流动，如图1-6所示。

（2）通流截面、流量和平均流速

1）通流截面：液体在管道中流动时，其垂直于流动方向的过流断面为通流截面。

图1-6 液体流动

a）恒定出流 b）非恒定出流

2）流量：单位时间内通过通流截面的液体的体积称为流量，用q表示，流量的常用单位为L/min。

对微小流束，通过dA上的流量为dq，其表达式为dq=udA，在通流截面上积分可得

3）平均流速：在实际液体流动中，由于黏性摩擦力的作用，通流截面上流速u的分布规律难以确定，因此引入平均流速的概念，即认为通流截面上各点的流速均为平均流速，用v来表示，则通过通流截面的流量就等于平均流速乘以通流截面积。令此流量与上述实际流量相等，得

则平均流速为

2.流量连续性方程

流量连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。在如图1-7所示的流体中，任选两个通流截面A₁和A₂，则不可压缩流体做恒定流动的连续性方程为

v₁A₁=v₂A₂

由于通流截面是任意取的，则有

q=v₁A₁=v₂A₂=v₃A₃=……=v_nA_n=常数

式中 v₁、v₂——分别是流管通流截面A₁及A₂上的平均流速。

此式表明通过流管内任一通流截面上的流量相等。当流量一定时，任一通流截面上的通流面积与流速成反比，则有任一通流断面上的平均流速为

v_i=q/A_i

3.伯努利方程

伯努利方程是能量守恒定律在流体中的一种表达形式。

（1）理想流体的伯努利方程为研究的方便，一般将液体作为没有黏性摩擦力的理想流体来处理。理想流体的能量在流动中应该守恒，故对于单位重量理想流体有

式中 ——单位重量液体所具有

的压力能；

Z₁、Z₂——单位重量液体所具有的势能；

——单位重量液体所具有的动能，它们的量纲都为长度，下标1和2分别代表流动中上下游位置通流断面的序号，如图1-8所示。

图1-7 流量连续性示意图

图1-8 液流伯努利方程的能量关系转换图

伯努利方程的物理意义为：在密封管道内做恒定流动的理想液体在任意一个通流断面上具有三种形成的能量，即压力能、势能和动能。三种能量的总和是一个恒定的常量，而且三种能量之间是可以相互转换的，即在不同的通流断面上，同一种能量的值会是不同的，但各断面上的总能量值都是相同的。

（2）实际液体的伯努利方程由于液体存在着黏性，并表现为对液体流动的阻力，实际液体的流动要克服这些阻力，表示为机械能的消耗和损失，因此当液体流动时，液流的总能量或总比能在不断地减少。所以，实际液体的伯努力方程为

式中 α₁、α₂——分别为两个通流截面处的动能修正系数，紊流流动时可将动能修正系数取为1；

h_w——两个通流截面之间机械能的消耗和损失。

应用伯努利方程式来解决实际问题时必须满足以下的限制条件：

1）液体的流动是稳定流动，即流过空间某一固定点的液体质点的速度、压力不随时间而变化。

2）所选择的两个通流面必须符合渐变流条件，至于在两个通流面之间的水流，可以是渐变流，也可以是急变流。所谓渐变流是一种流线几乎是平行的直线运动。液体在渐变流时，通流面可近似地看作是平面，在同一通流面上各点的，这是因为在渐变流时在液流的垂直方向上没有液体流动，故在液流的垂直方向上不存在摩擦阻力。

3）液体所受的力只是压力与重力（忽略惯性力的影响）。

4）液体是连续的、不可压缩的，即密度ρ=常数。

例：伯努利方程式在安全阀流量计算中的具体应用。

液压系统中，当液压油的压力超过安全阀的弹簧力时，安全阀就打开，油液经此而流回油箱。压力越大，打开的通道截面越大，通过安全阀的流量也就越大。但是它们之间到底是一个什么样的数量关系呢？下面就来分析这个问题。(https://www.chuimin.cn)

图1-9 安全阀流量计算

如图1-9所示，在安全阀打开状态取两个截面，一个是油的通道截面1-1，一个是在钢球支座的通道上以2-2为素线的截锥表面（素线与此处的流速垂直）。假设1-1和2-2为渐变流，根据伯努利方程式，得

式中 p₁、v₁——截面1-1上的压力和流速；

p₂、v₂——截面2-2上的压力和流速。

可以近似地认为截面1-1和截面2-2所在的位置相等，即Z₁=Z₂。由于截面1-1比截面2-2大得多，故v₁比v₂要小得多，在计算时可以略去这一项，压力损失这一项放在以后考虑，则得

式中 g——重力加速度，g=9.8m/s²；

γ——液压油重度，γ≈9×10³N/m³；

v₂——2-2截面的平均流速（m/s）；

p₁、p₂——安全阀前后压力（Pa）。

若以A表示2-2截面面积（m²），则通过2-2截面的流量q（L/min）为

由于局部压力损失及断面收缩，实际流量要比上式求得的小，所以要乘一修正系数c，即

式中 c——流量系数，根据实验，c=0.62～0.75。

4.动量方程

流动液体的动量方程是流体力学的基本方程之一，它是研究液体运动时作用在液体上的外力与其动量的变化之间的关系。在液压传动中，计算液流作用在固体壁面上的力时，应用动量方程去解决就比较方便。

在计算流动液体对接触物体的总作用力时可以用两种方法：一是先求出液体与物体接触的壁面上每点的表面力，即压力和切力，再对整个接触面积分求出总作用力，但此法非常复杂，难以实际应用；另一种是利用动量方程式，在方程式中出现的是被研究的液体段上所作用的外力，以及由这些外力所引起的液体的动量变化，因此仅要求具备液流段边界面上的数据，而不需要液体内部的数据，这就大大简化了计算。下面我们来推导流动液体的动量方程式。

理论力学的动量定律同样适用于液体，即在单位时间内，液体沿某方向动量的增量，等于该液体在同一方向所受外力的和，可表示为

如图1-10所示，有一段液体1-2在管道内做稳定流动，在通流面1-1和2-2的断面处平均流速分别为v₁和v₂，面积为A₁和A₂。经过很短的时间Δt后，液体从1-2位置流到1′-2′的位置。因为是稳定流动，故液体段1′-2内各点的流速是不变的，它的体积和质量也是不变的，所以其动量也没有发生变化。这样在时间Δt内，液体段1-2的动量变化将等于2-2′液体段的动量与1-1′液体段的动量之差，即等于在同一时间内经过液流段1-2流出和流入的液体动量的差值，一般用下式表示：

Δ（mv）=（mv₂）_2-2′-（mv₁）_1-1′=ρqΔtv₂-ρqΔtv₁=ρqΔt（v₂-v₁）（1-2）