下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。两端铰支细长杆的临界力计算公式——欧拉公式。从欧拉公式可以看出，细长压杆的临界力Fcr与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长l的平方成反比。杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导出，也可以采用类比的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。......
2023-06-16
如何用改进欧拉法计算故障切除后电磁功率影响？
【摘要】：应该着重指出，用改进欧拉法对故障切除后的第一个时间段的计算，与用分段计算法不同，电磁功率只用故障切除后的网络方程来求得而不必用故障切除前后的平均值。这是因为改进欧拉法的递推公式中实际已计及了故障切除前瞬间的电磁功率的影响。改进欧拉法和分段计算法的精确度是相同的。如果在输电线路始端发生两相接地短路，线路两侧开关经0.1s同时切除，试用分段计算法和改进欧拉法计算发电机的摇摆曲线，并判断系统能否保持暂态稳定。
设一阶线性微分方程为
且已知t＝t0时刻的初始值x（t0）＝x0，现在求出t＞t0以后满足上述方程的x（t）。暂态稳定计算就是给定了扰动时刻的初值，求扰动后转子运动规律δ（t）的过程，但是在等号右边的非线性函数中，不显示时间变量t，所以只需求解方程
即可。
在t＝0瞬刻，已给定初值x（0）＝x0，于是可以求得此瞬间非线性函数值f（x0）及x的变化速度
在一个很小的时间段Δt内，假设x的变化速度不变，并等于
则第一个时间段内x的增量Δx为
第一个时间段末（即t1＝Δt）的x值为
知道x（1）的值后，便可求得f（x（1））的值以及
从而求得第二个时间段末（即t＝2Δt）的x值
以后时间段的递推公式为
上述算法的特点是算式简单、计算量小，但不够精确，一般不能满足工程计算的精度要求，必须加以改进。改进后的算法如下。
对于任一时间段，先计算时间段初x的变化速度（例如第一个时间段）
于是可以求得时间段末x的近似值
然后再计算时间段末x的近似速度
最后，以时间段初的初始速度和时间段末的近似速度的平均值，作为这个时间段的不变速度来求x的增量，即
从而求得时间段末x的修正值
这种算法称为改进欧拉法。它的递推公式为
对于一阶微分方程组，递推算式的形式和式（15-34）相同，只是式中的x、f（x）等要换成列相量或列相量函数。
下面，以简单电力系统为例来说明改进欧拉法在暂态稳定计算中的应用。对于转子运动方程
假定计算已进行到第k个时间段。计算步骤及递推公式如下。
确定时间段初的电磁功率
解微分方程求时间段末功角等的近似值（设PT＝P0＝常数）分别为
计算时间段末电磁功率的近似值
解微分方程分别求时间段末功角的修正值
从递推公式可以看到，用改进欧拉法计算暂态稳定，也是把时间分成一个个小段，在每一小段内按等速运动进行微分方程求解，从而求得发电机的转子摇摆曲线。
应该着重指出，用改进欧拉法对故障切除后的第一个时间段的计算，与用分段计算法不同，电磁功率只用故障切除后的网络方程来求得而不必用故障切除前后的平均值。这是因为改进欧拉法的递推公式中实际已计及了故障切除前瞬间的电磁功率的影响。
改进欧拉法和分段计算法的精确度是相同的。对于简单电力系统（包括某些多机系统的简化计算）来说，分段计算法的计算量比改进欧拉法少得多。
【例15-1】对图13-20所示的系统，发电机的负序电抗x2＝0.2，转子的惯性时间常数TJN＝8s。如果在输电线路始端发生两相接地短路，线路两侧开关经0.1s同时切除，试用分段计算法和改进欧拉法计算发电机的摇摆曲线，并判断系统能否保持暂态稳定。假定线路每回路零序电抗为正序电抗的5倍。
解 由例13-1的计算已得到一些原始运行参数及网络参数，如P0＝1.0，E′0＝1.47，δ′0＝31.54°，x′d＝0.238，xT1＝0.13，xT2＝0.108，xL＝0.586。
图15-7 序网及短路时的等值电路
（a）负序网络；（b）零序网络；（c）短路时的等值电路
输电线路始端短路时的负序和零序等值网络如图15-7（a）、（b）所示，由图得
两相接地短路时的附加电抗
等值电路如图15-7（c）所示，系统的转移电抗和功率特性分别为
故障切除后系统的转移电抗及功率特性为
（1）用分段计算法计算。
第一个时间段
第二个时间段
第三个时间段开始瞬间，故障被切除，故
以后时间段的计算结果列于表15-1中。
表15-1 发电机转子摇摆曲线计算结果
（2）用改进欧拉法计算。
第一个时间段
第二个时间段末的功角及相对速度分别为δ（2）＝37.32°，Δω（2）＝114.4（°）/s。
第三个时间段开始瞬间切除故障，应该用切除故障后的网络来求电磁功率，即
以下的计算结果列于表15-1中。由表可以绘出发电机转子摇摆曲线，如图15-8所示。从表及图可以看出，两种算法的结果是极接近的，但分段计算法的计算量少得多。
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