浅谈哲学：个别事实概括一般原理归纳法

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：◇从个别事实中概括出一般原理的归纳法所谓归纳法，就是从个别事实中，概括出一般原理的推理方法。完全归纳法是根据某类事物的全体对象作出概括的一种推理方法。当然，在某类事物有限的情况下，使用完全归纳法能得到准确可靠的结论。不完全归纳法是根据某类事物的部分对象具有某种属性而推出该类事物具有这种属性的一种推理方法。运用不完全归纳法的成功性，取决于抽样及对样本把握的成功性。

◇从个别事实中概括出一般原理的归纳法

所谓归纳法，就是从个别事实中，概括出一般原理的推理方法。归纳法按照它所概括的对象是否完全又分为完全归纳法和不完全归纳法。

完全归纳法是根据某类事物的全体对象作出概括的一种推理方法。穷举法就是一种完全归纳法。尽管完全归纳法的结论真实可靠，但是，对于不胜枚举的一类事物，使用完全归纳法就会遇到困难。

下面这则笑话说明某些情况下，用完全归纳法是不可取的。

从前有个主人想吃苹果，就打发佣人去买，并吩咐说：“我要吃甜的，不甜的不要。”

佣人来到集市上，走到苹果摊前，拿起一个苹果，咬了一口，尝尝是甜的。就放到秤盘上；又拿起一个，咬一口尝尝；再拿一个，咬一口尝尝……

卖苹果的人说：“我这苹果个个是甜的。”可是，佣人还是拿一个咬一口，只有这样，他才感到放心。当他提着一篮子苹果回到主人家后，主人气得拿起棍子把他打跑了……

当然，在某类事物有限的情况下，使用完全归纳法能得到准确可靠的结论。

德国著名数学家高斯10岁的时候，有一次，数学老师布特纳在黑板上写下了这样一道题：1＋2＋3＋4＋……＋100＝？

老师刚解释完，高斯就把自己的答案交了上去。

布特纳心想：这个全班最小的学生准是瞎写了一通或者交了白卷，所以连看也没看。

快到放学的时候，其他学生才一个个把答案交上。布特纳看完了所有的答案，结果发现，只有高斯的答案是正确的。他大吃一惊，感觉到这是一个不平常的学生，就买了一本最好的算术书送给高斯，并对别人说：“高斯已经超过了我，我已经没有什么可以教他了。”(https://www.chuimin.cn)

在计算这100个数之和时，高斯就巧妙地运用了穷举法。

高斯发现，1＋11=101，2＋99=101，3＋98=101……50＋51＝101。所以，50个101即：50×101＝5050。

不完全归纳法是根据某类事物的部分对象具有某种属性而推出该类事物具有这种属性的一种推理方法。简单枚举法就是一种不完全归纳法。

例如，根据铁能导电，铜能导电，银能导电，金能导电的属性，推出“金属能导电”的结论。这种推理方法就是不完全归纳法。

著名的哥德巴赫猜想就是用不完全归纳法提出来的。哥德巴赫常和著名数学家欧拉通信讨论问题。2025年，哥德巴赫根据对一些奇数，例如，7＝2＋2＋3，15＝3＋5＋7，23＝3＋7＋13，77＝7＋17＋53……等的分析，发现他所列举的许多奇数都是三个质数之和。于是，他就提出了一个猜想：所有大于5的奇数都可分解为3个质数之和。

哥德巴赫自己证明不了这个猜想，就把它写信告诉了欧拉。欧拉进行了一番努力后，也没有能够证明它，但他认为这个猜想是正确的。他还从这个猜想推出了另一个猜想，即：每一个大于2的偶数都可以分解为2个质数之和。这两个命题后来就被合称为“哥德巴赫猜想”。这个猜想直到今天也没有得到彻底解决。

当然，不完全归纳法也有其局限性。运用不完全归纳法有时会得出以偏概全的错误结论。例如，人们根据多次经验到的事实，认为：“天下乌鸦一般黑”，“天下天鹅一般白”，“鸟都会飞”，“血都是红色的”等等。可是，后来却发现了白乌鸦、黑天鹅、不会飞的鸵鸟、白血动物等等。列宁曾说：“以最简单的归纳法所得到的最简单的真理，总是不完全的，因为经验总是未完成的。”

运用不完全归纳法的成功性，取决于抽样及对样本把握的成功性。这需要满足以下条件：

第一，独立性。从总体中抽取样本必须是随机的，即每个个体具有同样可能被抽取的几率；同时，样本之间具有一定的相对独立性。

第二，代表性。抽取的样本能最好地呈现总体特征。这就是，抽取的样本必须各有其显著的不同的特性，而样本中各个个体间的差别必须和总体中各个个体之间的差异大体上相一致。

第三，适度的量。样本中的个体必须达到一定的数量，以确保样本中显示的规律性具有较大的普遍性和客观性。达尔文为了研究生物进化规律，随贝格尔舰绕地球航行一周，历时5年，待返回英国时该舰的一个货舱里装有差不多半吨重的生物的地质标本。实际上，这仅仅是达尔文搜集的大量标本中的一部分，其他大部分早已预先运走。仅在加拉帕戈斯群岛，达尔文就采集了193种植物标本。大量的标本为达尔文从事生物学的研究和探索奠定了可靠的基础。

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