过家家数概念心算：孩子学习数运算的浅谈

第一章　浅谈孩子学习数运算

第一节　孩子学习数运算困难的原因

一、为什么孩子对数运算不感兴趣

在学前及低年级的数学内容中，除了数运算，知识点涉及了很多方面，比如分类、图形、应用数学、简单测量、统计等等。这多方面的知识离不开数量关系及数运算，因此数概念及运算是数学教学内容中的基础重点，计算能力可以说是学生学数学的基本素质。

然而大多孩子对数运算学习没有什么兴趣，有些孩子甚至有厌烦情绪。

家长和教师在教育和教学中也感到数学难教，尤其觉得数概念和数字运算抽象复杂，成人难以讲述，孩子难以理解，不知如何教才能使孩子理解和接受。

老卡尔·威特培养儿子的过程中，就发现在所有的学科中，没有哪门比数学更难使孩子感兴趣的了。

为什么孩子对于学数学尤其是数字运算不感兴趣？这是因为数学这门学科系统性、逻辑性、科学性较强，与语言、音乐、舞蹈、绘画等课程内容相比，数学知识显得抽象，较难理解。

它既不像语言故事那样具备形象和情节，也不像科学现象那样发生奇妙的变化，更不像艺术作品那样富有动人的旋律或鲜艳的色彩……

孩子感兴趣的多是那些形象生动、色彩鲜艳、会运动的事物，一般难以自发地对事物背后看不见摸不着的抽象数学属性产生兴趣。

加减运算单从数字、符号层面上看，是很抽象的，如果从现实生活应用中来看则比较具体化，可以转而理解为相应数量的物体，添上或拿走一部分数量物体，这是孩子比较容易理解的，所以不少观点支持教孩子计算时要把抽象数字加减和生活情景联系起来。

然而，即使把数字运算与生活情景联系起来，孩子能够理解了，但要得到答案，还得借助与数量相对应的具体实物进行动作上的增减。

不是每次做计算都能准备好实物或图片，而每个人都有一双随时能支配的手，所以大多孩子都有过用手指头帮助计算的经历。

不断变化的数字加减题，机械的拿取操作或伸屈手指头，容易使孩子觉得做计算枯燥无味。

大多成人不了解孩子各个年龄段对数概念的掌握水平，急切地表现出想要孩子直接在数字层面做出快速解答，这就更使孩子产生畏惧，导致对数字运算的厌烦。

二、孩子计算速度为什么快不起来

由于平时生活中或多或少都会碰到关于数字和数量的问题，这就积累了一定的感性经验，加上幼儿园数学教育，大多4～6岁孩子对1～10数字的理解能够脱离具体事物达到抽象理解的程度了，抽象的数字加减式子对他们来说不难理解，也能够通过摆弄实物、图片或扳手指头找到答案。

许多家长都熟悉这个场景：做加减计算题的时候，孩子经常是读一道计算题，放下铅笔，伸出两只手来，弯曲相应的手指头进行增减计算，才能得到答案。

有些家长着急：学了这么久，做了这么多，怎么还要用手指？为什么还是这么慢呢？

家长不了解，这是因为孩子现有的知识水平和思维特点使得他们必须依托具体实物，对实物数量进行增减操作后才能得到答案。

他们计算过程中，必须把抽象的数字转为具体的实物数量：做加法时，先用实物（或手指）确定一个加数数量，再确定另一个加数的数量，然后再把两个加数的总数量数（shǔ三声）出来；做减法时，先把被减数的数量实物（或手指）呈现在眼前，然后从中拿走减数的数量，剩下的数量就是答案。

这需要集中注意力操作和判断，得花费因人而异的时间，有的孩子手指伸屈不熟练；有的孩子加减容易混淆；有的孩子注意力容易分散等等，都会造成不同的时间所需。

所以，很多家长都觉得孩子计算速度太慢。

三、孩子为什么不愿做减法

在孩子学计算过程中，不少家长、老师发现，孩子往往偏向喜欢做加法，而不大愿意做减法，把减法当加法做的情形也时有发生。

为什么孩子愿意做加法而不愿做减法呢？

如果用具体的实物进行运算，只要理解了减法的实际意义，减法对孩子来说也不难，可以对减少后的实物目测或点数出答案。

然而，因为家长不支持孩子借助实物（或手指）做计算，不能依靠实物，孩子只能偷偷地扳手指或盯着手指在心里进行增减，或者利用表象（在脑子里回想以前扳手指头的过程）进行计算，这些情况下，做减法则比做加法增加了一定的难度，具体分析如下：

加法中，孩子往往会使用半具体半抽象的方式，两数相加，其中较大数可以不需要明确的具体数量，可以把它当做一个抽象数群，只需确定较小数的具体数量，取相应的实物或伸出相应的手指，从较大数顺着往上数（shǔ三声）即可得到答案，过程中只需注意较小数的数次，加数（shǔ三声）完毕，答案也就出来了。

而减法是要从一个总数量中减少一部分数量，这两个数量不像加法可以交换。

孩子不仅要确定与被减数（总数量）对应的实物或手指，从中准确减去减数的量，还要认真判断出剩下的数量，这个过程如果不允许孩子借助实物（或手指），孩子肯定需要更多的注意力和思考判断过程，有一定难度。

有家长或老师教孩子把总数放心里，这也就把它当做一个抽象数群了，然后往下倒着数要减的数次，如果减数不大也能很快得出答案，比如9－2，从9往下倒数两次，8，7，答案就出来了；但减数大了则容易出错，如9－6，从9往下倒数6次就不大容易了，而且由于倒数没有顺数那么熟练也影响计算速度。

再者孩子从小接触数字，大多是在累积加数，如数东西时1，2，3……10，11，12，都是累积加1。

两个两个数2，4，6……是每次加2……生活中碰到的数学问题往往也是合在一起用加法的情形更多，大多孩子对加法理解得更透彻，计算起来也更熟练。

因此，有不少孩子愿意做加法不喜欢做减法。

四、传统教学中孩子运算能力的三个发展过程

在传统教学中，根据大多数孩子计算能力的发展规律划分为三个阶段：从最初的具体实物运算阶段，发展到表象思维运算阶段，最后达到抽象概念运算阶段。

1．具体实物运算阶段

一般为三到四岁，孩子此时尚未建立数群概念，需要依赖具体实物和动作的增减来进行数字运算，由最初的实物逐一增减发展到实物按群增减。

比如计算6＋2，6－2，先后表现出以下几种水平：

（1）逐一数出6个实物或手指，依题口中念“加一加二”（或“减一减二”）同时配以手头动作加上（减去）一个再加上（减去）一个，再数出增加或减少后的具体数目，得到答案。

这表示孩子还处在逐一计数的具体实物操作阶段，孩子对数字与数量之间的对应不够熟练，应多提供具体实物给孩子操作。

（2）无须一一细数很快拿出6个实物或直接伸出6根手指，再直接加上或减去2，一眼便能看出答案。

这就意味着孩子从逐一计数提高到按群计数了。

（3）把6放在心里，依次往上或往下数两次得出答案。但若数字大了则还是需借助实物或手指，如8－6。

不少5、6岁孩子学会并停留在这半具体半抽象水平：把一数放心里，另一数依靠实物和动作进行逐一加减，这当中利用了顺数和倒数。

2．表象思维运算阶段

一般为6、7岁左右，孩子通过较长时间的实物操作，逐渐能够脱离具体实物（包括图片、手指、算珠等），依靠头脑中呈现的物体表象进行加减运算。该阶段孩子仍未建立全面的数概念。计算6＋2，6－2，具体表现为：

珠算表象运算过程：脑中相应地出现个位档上5下1珠靠梁，拨入两珠得8；拨去两珠需依口诀减五加三得4。

实物表象运算过程：因为6个以上实物孩子形成表象稍有困难，而一双手有固定的十指形态，更易于形成表象记忆，只需回想或暗中动几下手指，6是一掌5指加1指，加两指成了5和3得8；减两指则先少一指，一掌5再少1指得4。

这些表象思维过程若是熟练，速度也会比较快。如果经过较长时间的专门训练，还能高度发展，达到令人称奇的效果，比如珠心算、手指算等等。

但数学是“源于现实并高于现实”的，它既是建立在具体事物基础上，又要摆脱具体事物进行抽象的思考，数学知识的获得最终是要摆脱具体实物的依托，成为抽象的概念体系。

而表象运算始终是把抽象数字转化为具体实物形象呈现在脑海中，孩子还是没能建立起抽象的数概念体系，因此表象运算必须要向更高层次的抽象运算发展。

3．抽象概念运算阶段

一般为7、8岁左右，孩子在正确的教学引导下，建立了较为完整的数群概念，对数的分合及三数之间的关系得到较好的理解和掌握，能直接利用数群之间的关系进行运算，无需依靠实物的直观作用或以表象为依托，这是较高水平的抽象运算能力。具体表现：

计算6＋2，6－2时，无需再借助任何实物或表象，直接利用数的组合关系迅速得出答案：(www.chuimin.cn)

因为6和2组成8，所以6＋2＝8；

因为6可以分成2和4，所以6－2＝4。

第二节　成人体会抽象数字及加减

人们习惯于从自己角度看问题，觉得10以内加减再容易不过，就那么几个数字打转转，说抽象也给了小木棍、小卡片等实物让孩子学，已经多少回了，怎么还这么慢呢？平时读儿歌，听故事记忆力挺好，怎么就记不住这些简单的数字加减呢？真是让不少家长灰心丧气，以为自己孩子没有数学天分，急躁的家长不免叱责孩子：“你真笨，做了这么多回还做不来！”

——请不要责怪孩子，家长现在是成熟的头脑看这些10以内计算很简单，一定忘了自己小时候是怎样懵懵懂懂学过来的，现在我们一起来设身处地从孩子的角度体会一番，数概念的理解和数字加减运算到底难在哪里。

一、体会抽象数字和运算

因为成人对10以内数字早已有了全面透彻的理解，对任意10以内数字运算娴熟得很，那我们把1～10相应地依次换成字母a～j，假设这些字母不仅在字形上取代数字，而且包含了与数字完全相同的数量关系和规律，如：b（2）＋e（5）＝g（7）；I（9）－f（6）＝c（3）。

这个假设中不允许成人通过数字把字母和具体数量联系在一块进行记忆和熟练，如：不能把c与3，f与6联系在一起去记c和f的对应数量。

请认真地投入试一段时间，你就会通过自身的体会发现很多以前根本没能从孩子角度感受到的问题：

1．开始学一阵，也许就能a，b，c，d，e，f，g，h，i，j唱熟了，但不能打乱认（假设你没学过字母但多次听别人念过），如同没学音乐知识的人可以唱“多来米发所拉西多”，却不能指认“4”怎么唱，“西”又是哪个唱符。

需经过一段时间认读，才渐渐熟悉每个字母与唱名的对应，可能形象相近的还会出现混淆，比如：b和d。

这就如同大多低龄孩子能叽里咕噜从1唱到10甚至20，却不能打乱来认读，往往指着5认2，指着6认成9。

2．能够打乱认读后，却一时不能与具体数量相对应，不熟悉字母所含的确切数量，看到f，得曲指数数才知代表六个，看到一堆苹果，还得边点着边唱字母a、b、c、d、e，方知是e个（五个）。

这就如同孩子顺溜地机械唱（写）数，能熟练读写1～20甚至更多数字，实际上并不清楚数词与具体数量的对应，更不了解这些数字之间的关系，所以孩子会唱（写）数不代表真正理解了数的意义。

3．成人对数字之间的交叉运算都能迅速回答，而换成代表同样数量的字母让你进行计算，如f－d，这时你一定深感其中的抽象了——连f和d代表多少数量都还没搞清，就要进行增减了？

你一定迫切需要具体实物的帮忙（不能通过数字联系），借助实物逐一数到相应数量的字母f，再逐一数出要减去的数量d，还得逐一点数出剩余数量的字母名。

这就是常见的4、5岁孩子具体实物运算中“逐一加减运算水平”，因为孩子尚未在数字与数量之间建立熟练稳定的联系，就被要求做数字之间的加减计算，孩子只有通过逐一计数的具体实物操作来得到答案。

4．你该明白了，教孩子计算要先让孩子建立数与量的稳定联系，正如你做字母运算之前，得先练习字母与数量的对应！

这需要为期不短的一段时间，在物数对应活动中不断地熟悉，才能够达到字母与相应数量的快速稳定联系。

物数（应该是字母）对应熟悉到一定程度，能够以群计数了，如看到5件东西无须点数立刻就知道是e，看到h就立刻知道代表8件东西。

但是，你能较快报出h－e的答案很可能是你在心中把h－e转换成8－5了，因为你已经对数群加减相当熟练，可孩子对数群关系知道多少呢？他们还是得通过实物或图片进行计算。

物数对应熟练后，孩子计算速度就有了很大的提高，看着图片就能回答8只小鸟飞走了2只还有6只；7－3只需一次性伸出7根手指头，再弯下三根，立刻报出答案4。

这就达到了“按群加减运算水平”，在此基础上也就比较容易发展到脱离实物或图片借助表象进行运算。

5．当你能够借助实物按群进行字母加减了，开始要求你借助表象做计算以摆脱对具体实物或手指的依赖，你会发现，已有的数字运算经验挡都挡不住在帮忙。

但孩子头脑里没有多少数概念和数关系帮忙，要求不借助外物，他们只能把平时计算操作的经过在脑子里回放，这就是“表象运算”。

小数字的表象形成还容易些，碰到大一点的数字如超过6个以上，表象形成就不那么容易了，提取记忆中以往计算经验又不那么确定，可能还要暗中借用一下手指。

很多七岁左右孩子正处在这种计算水平，大多数字运算可以较快地正确做出，数目大一点偶尔会出错，或者不易形成表象仍要借助手指，尤其是减数较大的减法。

6．即使是成人实验，也要过很长一段时间才能彻底摆脱实物或手指表象，直接在字母层面熟练地进行交叉运算。

字母所含具体数量以及字母间的数量关系已娴熟在心，不需要借助任何外物就能快速做字母加减，你才算是达到了“字母抽象运算水平”，就像你已有的数字抽象运算能力一样。

一般孩子就是这样经历了物数对应、具体实物逐一加减、按群加减、表象运算等过程，到7、8岁才终于达到初步的抽象运算水平。

这时你是不是深有感触，才体会到成人看起来简单的10以内加减计算，孩子学起来却要这么辛苦，需要这么复杂漫长的过程！

你以前的心急和斥责只会让孩子害怕、厌烦、逃避做计算，认为自己真的很笨，以至于对整个数学学习失去兴趣和自信，这不是你希望看到的吧！

二、体会之后的反思

如果你认真地花时间投入上面这个实验，你会惊讶于竟然需要这么长时间和这么多次的重复操作运算和表象运算，才能勉强达到初步的抽象字母运算能力！难怪孩子学计算这么辛苦而且不感兴趣。

这么长时间的实物操作运算和表象运算到底起什么作用呢？

成人在体验实物操作过程中不难体会到，具体操作运算中，只是机械地把计算式转为具体的实物增减运算，只需按照一定程序操作，无须多费思考即能得出答案。如6－4，孩子只需取6件物品，从中拿掉4件，剩下的答案一目了然。

整个过程中，孩子只要借助具体实物在动作层次上进行物数对应和相应的增减，就能得到答案，完成任务，而几乎没有对数量关系的学习和思考。

因此孩子数学能力停滞徘徊在物数对应中，并依照成人“不能看手指”的要求，努力地把操作过程转向脑海中的表象运算过程。

表象是对感知过的事物在脑中再现出来的形象，具有直观性，但没有感知时那么鲜明、完整和稳定。

生活中的表象记忆，一般来源于自己感兴趣或印象深刻的事物，只需再现出对象的大概轮廓特征即可。

而利用表象进行数字计算，必须随计算题的变化在脑海中呈现出有准确数量的表象，并且需要有动态的增减变化（同样必须数量准确），这需要经过长期大量的练习，否则孩子容易出错，大脑也容易疲劳。

不管把数字转化为具体实物还是转化为脑海中的表象进行计算，实质上都仍是物数对应的计数，使孩子习惯并依赖于把数字转为具体实物，这样不利于孩子建立起抽象的数概念。

因此，传统学习中，让孩子通过大量的具体操作以促成表象运算，再逐渐过渡到抽象数字运算这一教学模式，是既耗时又劳神的，需要一个漫长的过程，对教师而言，也是一种很被动的教学方式，需要耐心等待孩子自己在操作中逐渐内化缓慢进步。

多年的教学中，我不断观察孩子学习计算过程中的特点，发现大多孩子学计算时会有以下明显进步：

一般5以内加减不少孩子能较快脱离手指或实物，因为数量少较易形成表象；

“某数加一”容易学会，如7＋1，6＋1，8＋1等，这与学习数的递进规律及孩子顺数的习惯有关；

同数相加或对应的减法，如3＋3，6－3，4＋4，10－5等。

还有一种情况引起我注意，有些孩子扳手指做计算中，5＋2，2＋5，7－5，7－2和3＋5，5＋3，8－5，8－3和4＋5，5＋4，9－5，9－4也能无需借助手指很快就能直接报出答案。

我分析这是因为一掌五指、两掌十指的固定形态，不仅仅是有利于孩子形成稳定的表象，更能促进孩子形成数群关系的认识理解和运用。

通过多次扳弄手指计算，孩子容易发现：一只手5根手指，另一手伸4根手指，合起来是9根；4和5，5和4合起来都是9，9根手指减掉5根剩下4根，9减掉4剩下5。

这实质上就是促进了孩子数组合及其关系的理解掌握和运用，使得孩子在计算这些相关数群加减时可以不需要分别形成表象，而是直接利用数群关系很快得出答案。

而9－6，9－7，8－6，7－4等计算式，由于手指屈伸较难形成稳定表象，就难以表现出这些数群关系，更谈不上运用，所以大部分孩子甚至不少一、二年级学生碰到这些题的时候偶尔也还要借助手指头。

数的组合及其关系是数概念中的重点内容，10以内各数的组合共有25组，涵盖了10以内所有的加减关系（0除外），如果熟练掌握了这些数组合及其关系，做加减计算时就不再需要多次利用实物或借助表象，而可以依据所掌握的一组数分合关系立刻得出相关四道加减的答案，计算能力也就会有飞跃的提高和质的变化。

数的组合的理解和掌握是抽象运算能力形成的关键基础，因此数的分成是幼儿园大班及小学一年级数学教学中的重点。

但传统的数组合教学中，孩子学习效果不尽如人意，所以大多观点普遍认为：孩子受年龄心理特点限制，难以全面理解和掌握抽象复杂的数组合逻辑关系。