首页理论教育点式空间群与非点式空间群：晶体结构课程讨论成果

点式空间群与非点式空间群：晶体结构课程讨论成果

2023-11-28 理论教育版权反馈

【摘要】：从点式空间群到非点式空间群——关于“晶体结构”课程的点滴讨论●摘要将点群推广到模数群，相应地，由点式空间群可推导出非点式空间群。关键词晶体结构课程、点式空间群、非点式空间群一、导言我在“晶体结构”研究生课程的讲授过程中，比较重视基本原理的简洁阐述。下文给出非点式空间群的一种推导。

从点式空间群到非点式空间群——关于“晶体结构”课程的点滴讨论

●(山东大学，方奇)

摘　要　将点群推广到模数群，相应地，由点式空间群可推导出非点式空间群。

关键词　晶体结构课程、点式空间群、非点式空间群

一、导言

我在“晶体结构”研究生课程的讲授过程中，比较重视基本原理的简洁阐述。“晶体结构”的基础是晶体微观对称理论，集中体现在230个空间群。其中73个是点式(symmor－phic)空间群，许多教科书都有推导。其余157个是非点式(non－symmorphic)空间群，只有若干教科书概述来由，但并未给出详尽的推导。对于结构化学和晶体材料学等专业的研究生来说，有必要了解非点式空间群的来龙去脉。其实，只要找到庖丁解牛的刀锋所向，就没有难讲的课题。下文给出非点式空间群的一种推导。

二、非点式空间群的构成，模数群(modulo group)

晶体的平移对称性用平移群T描述。晶体结构基元的对称性则可用某种有限群P描述。若P是晶体点阵点群的某一子群，则T在P的共轭变换下不变，二者可以做直积，构成点式空间群

设上式中直积因子点群P为

其中I为不动操作，对应于3×3单位矩阵。G的陪集展开式为

现将式(2)，式(3)中每一个点操作W_i替换为含有平移w_i的空间操作(W_i，_wi)

P′不是点群，但若选择一组内禀平移w₂，…，w_s，则可构造出一种所谓模数群

群元素即空间操作的Seitz符号:＝(W_i，w_i)(i＝1，2，…，s)。

模数群的乘法即Seitz符号的乘法:(W_j，w_j)(W_i，w_i)＝(W_jW_i，W_jw_i＋w_j)，并进一步满足

所谓以t为模是指W_jw_i＋w_j可以去掉或加上点阵平移kt。因为Seitz符号(W，w)中若多出点阵平移kt，它可以并入式(5)中的平移群:T(W，w＋kt)＝T(I，kt)(W，w)＝T(W，w)。

单位元:(I，kt)≡(I，0)。“以t为模”意义下，将点阵平移(I，kt)定义为(I，0)是可以的。

(W_i，w_i)的逆元:(W_i，w_i)^－1＝(，－)。

模数P′对平移群T的共轭变换满足不变性

T和P′确实可以构成空间群，即非点式空间群。

定义:式(5)的空间群G′中，若至少有一w_i不为0，则G′称为非点式空间群。

构造非点式空间群的问题归结为构造与点群P同构的模数群P′，做法如下

在点群P与模数群P′之间建立一一对应的映射关系:φ(W_i)＝(W_i，w_i)(i＝1，2，…，s)，设点群P中有乘法关系:W_jW_i＝W_k，则“乘积的像”为

φ(W_jW_i)＝φ(W_k)＝(W_k，w_k)

另一方面，在点群P′中，“像的乘积”为

φ(W_j)φ(Wi)＝(W_j，w_j)(W_i，w_i)＝(W_jW_i，W_jw_i＋w_j)

令点群P与模数群P′同构，同构关系要求“乘积的像”等于“像的乘积”，即

(W_jW_i，W_jw_i＋w_j)＝(W_k，w_k)

其中W_jW_i＝W_k是点群P的乘法关系，W_jw_i＋w_j＝w_k是模数群P′中内禀平移的关系，称为(www.chuimin.cn)

1)自洽条件(对应于乘法表的对角元):W_iw_i＋w_i＝w_k(j＝i)(以t为模)　　　(8)

2)相容条件(对应于乘法表的非对角元):W_jw_i＋w_j＝w_k(j≠i)(以t为模)　　(9)

选择一组内禀平移(0，w₂，…，w_s)要注意:

1)W_i对w_i的限定。点操作W_i的相应w_i只能有若干候选平移。对于反映W_m，w_m可取晶轴方向或对角方向上点阵周期的1/2，因此平面中w_m可取:a/2，b/2，(a＋b)/2。又如，二维空间群中无螺旋，相应于二重旋转的内禀平移为0。

2)w_i，w_j，w_k之间必须服从关系式(8)，式(9)。w_m的候选平移a/2，b/2，(a＋b)/2被条件式(8)，式(9)制约和筛选，最后得出合乎对称性要求的内禀平移。

三、例题:p2mg与p2gg群

简单起见，我们以二维空间群为例，由点式空间群p2mm推导非点式空间群p2mg和p2gg。p2mm群中原点的位置点群及乘法表为

P＝2mm＝｛1；2；M_x｛x，0｝；M_y｛0，y｝｝

相应模数群的形式为:

P′＝｛(I，0)；(2，0)；(M_x，m_x)；(M_y，m_y)｝

注意，上式中的m_x，m_y均表示平移而不是反映，Seitz符号逗号后面的量永远是平移。

2mm为交换群，乘法表中与反映有关的自乘关系及自洽条件为

M_xM_x＝1，M_yM_y＝1；M_xmx＋mx＝0，M_ym_y＋m_y＝0

容易验证，m_x，m_y的候选平移a/2，b/2，(a＋b)/2满足上式。

与反映有关的互乘关系，相容条件及导致的结论为

注意到模数群允许等式两边相差点阵平移，仍有式(10)。

由M_yM_x＝2，M_xM_y＝2；有M_ym_x＋m_y＝0，M_xm_y＋m_x＝0

m_x＝m_y＝a/2，b/2，(a＋b)/2满足上两式。

1)m_x＝m_y＝a/2时，(M_x，a/2)为滑移a｛x，0｝；(M_y，a/2)为反映m｛1/4，y｝，相应空间群为

2)m_x＝m_y＝b/2时，(M_x，b/2)为m｛x，1/4｝；(M_y，b/2)为b｛0，y｝，相应空间群为

T∧P″＝T∧｛1；2；m｛x，1/4｝；b｛0，y｝｝＝p2gm

p2gm与p2mg实为同一种空间群。

(3)m_x＝m_y＝(a＋b)/2时，(M_x，(a＋b)/2)为滑移a｛x，1/4｝；(M_y，(a＋b)/2)为滑移b｛1/4，y｝，相应空间群为

图1　二维矩形点阵的晶胞(左)，空间群p2mg(中)和空间群p2gg(右)的对称图案

[1]Vainshtein B K.Modern Crystallography:Symmetry of Crystals ＆Methods of Struc－tural Crystallography.Berlin，Heideberg，New York:Spring－Verlag，1981.

[2]王仁卉，郭可信.晶体学中的对称群.北京:科学出版社，1990.

[3]方奇，于文涛.晶体学原理.北京:国防工业出版社，2002.