了解多目标问题及相关概念

2023-11-26 理论教育版权反馈

【摘要】：多目标优化问题根据优化的对偶理论，只需考虑最小化问题。定义4.8设待优化问题为式中的最小化多目标优化问题，若存在当前解X，其反向解为X′，对X和X′采用如下更新机制:若XX′，则保留当前解X；若X′X，则用X′替换X；若X和X′彼此非支配，则随机选择其中某个个体保留。多目标优化问题中的非支配解一般视为精英个体，这些个体通常包含了更多的引导种群向全局最优Pareto前沿收敛的有益信息。

(1)多目标优化问题

根据优化的对偶理论，只需考虑最小化问题。不失一般性，一个具有n个决策变量，m个目标函数，(p＋q)个约束的MOP问题可定义为:

定义4.5(Pareto前沿)Pareto前沿(Pareto Front，PF)是Pareto最优解集在目标空间中的投影，即PF＝{F(x)x∈PS }。

定义4.6(当前种群的非劣解集NDS)假设Pop(t)为MOEA算法的第t代种群，个体x∗∈Pop(t)为群体的非劣解，当且仅当¬∃x′∈Pop(t):x′≺x∗。Pop(t)中所有非劣解x∗组成的集合称为当前群体的非劣解集NDS，即NDS＝{x∗}＝{x x∈Pop(t)且¬∃x′∈Pop(t)，使x′≺x}。

(2)精英反向学习

Tizhoosh[37]于2005年提出了反向学习(Opposition-Based Learning，OBL)的概念，并说明了反向解要比当前解有高出近50%的概率靠近全局最优。其主要思想是通过在当前个体所在区域产生反向个体，并将反向个体与当前个体一起参与竞争，优秀个体进入下一代。

定义4.7(反向解)设在区间[a，b]上存在一个实数x，则x的反向数定义为x′＝a＋bx。基于此，假设在R域上存在某n维的解点p＝(x1，x2，…，xn)，且xi∈[ai，bi]，则定义p′＝(x′1，x′2，…，x′n)为p的反向解。其中，x′i＝β∗(ai＋bi)-xi，β为[0，1]区间均匀分布的随机数，也称为一般化系数。(www.chuimin.cn)

定义4.8(基于反向解的优化)设待优化问题为式(4.11)中的最小化多目标优化问题，若存在当前解X，其反向解为X′，对X和X′采用如下更新机制:若X≺X′，则保留当前解X；若X′≺X，则用X′替换X；若X和X′彼此非支配，则随机选择其中某个个体保留。

多目标优化问题中的非支配解一般视为精英个体，这些个体通常包含了更多的引导种群向全局最优Pareto前沿收敛的有益信息。如果最终算法能够全局收敛，那么精英个体所形成的搜索区域必然会收敛到全局最优Pareto解集所形成的搜索区域。因此，加强精英个体所在空间邻域的搜索，将会提高算法的收敛速度，改善算法的全局收敛能力。

定义4.9(精英反向解)设n维搜索空间中群体Pop中的某精英个体Xbest＝(x1，x2，…，xn)的反向解为X′best＝(x′1，x′2，…，x′n)，则该精英反向解x′i＝β∗(dai＋dbi)-xi，β∈[0，1]为服从均匀分布的随机数，xi∈[ai，bi]，[dai，dbi]为群体Pop在第i维搜索空间的动态边界，且可按式(4.12)计算得到。

其中，｜Pop｜为当前群体的规模。

用搜索空间的动态边界代替固定边界有利于保存搜索经验，使得生成的反向解能够位于逐步缩小的搜索空间，促进算法较快收敛。由于精英反向解也可能跳出边界[ai，bi]而成为非可行解，这里采用本章参考文献[28]中的方法对越界值进行重置，如式(4.13)所示:

通过形成的精英反向解，可加强对精英个体邻域的探测，MOFAEOL算法在每一次迭代中，针对种群的精英个体执行反向学习，生成精英个体的反向种群，并参与进化竞争。

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