鉴于多目标优化问题在科学研究和实际应用中普遍存在，因此，研究MOP问题的求解具有重要的现实意义。多目标优化这一概念在早期的研究文献中也被称为多准则决策或多属性决策。意大利经济学家L.Pareto[8]于1896年在其关于经济福利的著作中最早提了到多目标优化问题以及后来被称为Pareto最优的均衡状态。因此，ε约束法实质上是将MOP问题转化为带约束的单目标优化问题进行求解。......
2025-09-30
WFG系列算法的多目标群体智能
【摘要】：与以前的测试函数集不同的是，WFG工具包允许算法的设计者通过一系列可组合的转换函数来控制测试问题的特性。为此，WFG工具包提供了各种预定义的形状函数和转换函数。“”表示利用转换函数创建另一向量。通过上述标准化的构造过程可以构造出一个WFG测试问题的实例，并且可以使得实例满足多种用户定义的问题特性和特定的几何结构。
2025年，Huband等[21]对几种经典的测试函数集进行了总结分析，提出了一种新的多目标测试问题生成工具，即WFG测试问题工具包。与以前的测试函数集不同的是，WFG工具包允许算法的设计者通过一系列可组合的转换函数来控制测试问题的特性。WFG测试问题工具包十分灵活，它能提供诸如偏转、多模态和不可分性之类的特性，并能还能根据需要对这些性质进行合并和组合，它支持多种Pareto最优几何结构，包括凸、凹、混合凸/凹、线性、退化和不连续的几何结构等。
在构建一个多目标测试函数时，需要选择几个形状函数来确定适应度空间的几何结构，而且需要使用若干有助于创建转换向量的转换函数。其中的转换函数需要精心设计，以使得适应度空间和Pareto最优前沿保持完整，并具有相对容易确定的Pareto最优解集。为此，WFG工具包提供了各种预定义的形状函数和转换函数。利用WFG工具箱创建的多目标优化测试问题具有定义良好的特性，这些测试问题的目标数目和参数个数是可以扩展的，而且这样构造出来的测试问题的Pareto最优解集也是已知的。Huband等提出了9个可扩展的多目标测试问题，即WFG1～WFG9，其中包括了多模态问题和不可分离的问题，而这些问题特性恰恰是很多基准多目标测试问题所不具备的。
利用WFG工具包创建多目标测试问题符合以下的要求:首先，给定决策变量z＝{z1，…，zk，zk＋1，…，zn }，一个最小化测试问题的构造方法如下:(https://www.chuimin.cn)
而
{z1/z1，max，…，zn/zn，max}。
在上述构造过程中，M为目标数，x为中间参数向量，x1:M-1为对应向量的位置参数，z为实际参数向量，z1:k为位置参数，zk＋1:n为距离参数，z[0，1]由z各维参数标准化产生。由z[0，1]产生x过程中包含p次转换过程和一次退化处理过程，每次转换过程是由一个转换函数实现。对于tp中的每一维参数
＋0.5为退化处理过程，A1:M-1∈{0，1}为响应系数，如果Ai为0，那么测试问题的Pareto前沿的维度减1。h1:M为特定结构的形状函数，D和S1:M分别为距离参数和形状函数的扩展参数。“↦”表示利用转换函数创建另一向量。通过上述标准化的构造过程可以构造出一个WFG测试问题的实例，并且可以使得实例满足多种用户定义的问题特性和特定的几何结构。
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