数学有趣：从八仙过海到教科书

“八仙过海”只是一个玩意儿，我们只能在游戏场中碰到它，学校里的教科书上是没有的。老实说，平常研究这些玩意儿的朋友还多是目不识丁的中下阶级的分子。然而，这些朋友专门喜欢找学生寻开心，他们会使得你惊奇，会使得你莫名其妙，最后给你一个冷嘲：“学校里念书的人这都不知道！”原来在我们中国一般人的心里都有个传统的思想，“一物不知，儒者之耻”，读书人便是儒者，所以不但应当知人之所不知，还应当知人之所知，不然就应当惭愧。传统思想自然只是传统思想，其实又有谁真能做到事事都知呢？不过话虽如此，有些小玩意儿却似乎应当知道，全都推脱，终不是一回事。“八仙过海”便是一个例子。只要肯思索的朋友，我相信花费一两个小时的时间就可以将这玩意儿的闷葫芦打破。

但是为了这一点小玩意儿，便费去一两个小时去思索，一天到晚所碰到的小玩意儿不知有多少，若都要思索，哪儿还有工夫读书、听讲？而且单是这般地思索，最好的结果也不过是一个小玩意儿的思想家，究竟登不上大雅之堂。这样一想，好像犯不上去思索了。那么为什么不将它也搬进教科书里去呢？我们读的教科书彻头彻尾是洋货，我们不自己搬进去，谁还来替我们搬不成？朋友，把我们的货色搬到他们的架子上去，这是要紧的工作。在这里，请容我再说几句闲话。我说的是把我们的货色搬到他们的架子上去，你切不可误会，以为我是劝你将他们的货色搬到我们的架子上来。我们有的是铁和铜，用它们照样造火车、造发动机，这叫将我们的货色搬到他们的架子上去；他们有的是上帝和耶稣，用它们照样和城隍财神一般地敬奉，这叫将他们的货色搬到我们的架子上来。朋友，架子是他们的好，这用不着赌气，货色却没有什么中外，都出自地壳。这虽只说到一个比方，但在我们读书的时候，它的根本含义却很重要。不过说来话长，别的时候再详谈吧。好在我要谈“八仙过海”，也就是搬我们的货色到他们的架子上的一个例子，你若觉得还有意思，那就有点儿头绪了。

我不知道你碰到过“八仙过海”这类的玩意儿没有，为了说起来方便，还是先将它说明一番。

一个人将八个钱分上下两排排在桌上，叫你看准一个，记在心头。他将钱收起，重新排过，仍是上下两排，又叫你看定你前次认准的那一个在哪一排，将它记住。他再将钱收起，又重新排成两排，这回他叫你看，并且叫你告诉他你所看准的那一个钱这三次位置的上下。比如你向他说“上下下”，他就将下一排的第二个指给你。你虽觉得有点儿奇异，想抵赖，可是你的脸色也不肯替你隐瞒了。这个玩意儿就是“八仙过海”。这人为什么会有这样的本领呢？你会疑心他是偶然猜中的，然而再来一次、两次、三次，他总不会失败，这当然不是偶然了。你就会疑心他每次都在注意你的眼睛，但是我告诉你，他哪儿有这么大的本领，只瞥了你一眼，就会看准了你所认定的那个钱？你又以为他能隔着皮肉看透你心上的影子，但是除了这一件玩意儿，别的为什么他又看不透呢？

这玩意儿的神妙究竟在哪里呢？朋友，你既然喜欢和数学亲近，大概总想受点儿科学的洗礼的，那么，我告诉你，宇宙间没有什么是神妙的。假如真有的话，我想便是“一个人有了脑筋本是会想的，偏不肯去想，但是你若要将他的脑袋割去，他又非常不愿意”这一件事实了。不是吗？既不愿用它，何必留它在脖子上？“八仙过海”不过是人想出来的玩意儿，何必像见鬼神一样对它惊奇呢？你若不相信，我就把玩法告诉你。

这玩法有两种：一种姑且说是非科学的，还有一种是科学的。前一种比较容易，但也容易被人看破，似乎未免寒碜；后一种却较“神秘”些。

第一图

先来说第一种。你将八个钱分成上下两排照第一图排好，便叫想寻它开心的人心里认定一个，告诉你它在上一排或是下一排。

第二图

第三图

譬如他回答你是“上”，那么你顺次将上一排的四个收起，再收下一排的。然后将收在手里的一堆钱（注意，是一堆，你弄乱了那就要垮台了），上一个下一个地再摆作两排，如第二图。你将两图比较起来看，一图中上一排的四个到二图中分成上下各两个了。你再问他所认定的这次在哪一排。譬如他的回答是“下”，那么第一次在上，这一次在下的只有B和D，你就先将这两个收起，再胡乱去收其余的六个，又照第二次的方法排成上下两排，如第三图。在这图里B和D已各在一排，你再问他，若他说“上”，那他所认定就是B，反过来，他若说“下”，当然是D了。

你看这三个图，我在第二图有四个圈没写字，在第三图只写了两个，这不是我忘了，也不是懒，空圈只是表示它们的位置没有什么关系。

其实这种玩法道理很简单，就是第二回留一半在原位置，第三回留下一半的一半在原位置。四个的一半是二，两个的一半是一，这还有什么猜不着呢？

我不是说这种方法是非科学的吗？因为它实在没有什么一定的方式，不但A，B，C，D在第二图可随意平分排在上下两排，而且还不一定要排在右边四个位置，只要你自己记清楚就好了。举个例说，譬如你第一次将钱收在手里的时候是这样一个顺序：A，B，E，F，G，H，C，D，你就可以排成第四图（样子很多，这里不过随便举出两种），无论在哪一种里，其目的总在把A，B，C，D平分成两排。同样的道理，第三图的变化也很多。

第四图

老实说，这种玩法简直无异于这样：你的两只手里各拿着四个钱，先问别人所要的在哪一只手，他若说“右”，你就将左手的甩掉，从右手分两个过去；再问他一次，他若说“左”，你又把右手的两个丢开，从左手分一个过去，再问他所要的在哪只手。朋友，你说可笑不可笑，你左手、右手都只有一个钱了，他对你说明在左在右，还用你猜吗？

所以第一种玩法是蒙混“侏儒”的小巧玩意儿。

现在来说第二种。

第五图

第六图

第二种和第一种的不同，就是钱的三次位置，别人是在最后一次才一口气说出来，这倒需有点儿硬功夫。我还是先将玩法叙述一下吧。第一次排成第五图的样子，其实就是第一图，“上下”指的是排数，“1，2……8”是钱的位置。你叫别人认定并且记好了上下，就将钱收起，照1，2，3，4，5，6，7，8的顺序收，不可弄乱。

收好以后你就从左到右先排下一排，后排上一排，成第六图的样子。

第七图

别人看好以后，你再照1，2，3，4，5……的次序收起，照同样的方法仍然从左到右先排下一排，再排上一排，这就成第七图的样子。

在这么一回，若他说出来的是“上下下”，那就是下一排的第二个；若他说“下下下”，那就是下一排的第四个。

为什么是这样呢？

朋友，因为摆成功是那样的，我们无妨将八个钱三次的位置都来看一下：

这样看起来，A，B，C，D……八个钱三次的位置没有一个相同，所以无论他说哪一个你都可以指出来。

朋友，这次你该明白了吧？不过你还不要太高兴，我这段“八仙过海指南”还没有完呢，而且所差的还是最重要的一个“秘诀”。你难道不会想A，B，C，D……这几个字只有这图上才有，平常的铜圆上没有吗？即使你另有八个记号，你要记清楚上上上是A，下下下是H……这样做也够辛苦的了。在这里却用得到“秘诀”。所谓秘诀就是八个中国字：“王、元、平、求、半、米、斗、非。”这八个字，马虎点儿说，都可分成三段，若某一段中含有一横那就算表示“上”，不是一横便表示“下”，所以王字是上上上，元字是上上下……我们可以将这八个字和第七图相对顺次排成第八图的样子：

第八图

由第八图，就可看明白，你只要记清楚王、元、平、求……的位置顺序和各字所代表的三次位置的变化，别人说出他的答案以后，你口中念念有词地暗数应当是第几个就行了。

譬如别人说下上上，那么应当是“半”字，在第五位；若他说上下上，应当是“平”字，在第三位，这不就可以瓮中捉鳖了吗？

暂时我们还不说到数学上面去。我且问你，这个玩意儿是不是限定要八个钱不能少也不能多？是的，为什么？假如不是，又为什么？“是”或“不是”很容易说出口，不过学科学的人第一要紧的是既然下个判断，就得说出理由来，除了对于那几个大家公认的基本公理或假说，是不容许乱说的。

经我这样板了面孔地问，朋友，你也有点儿踌躇了吧？大胆一点儿，先回答一个“是”字。真的，顾名思义，“八仙过海”当然总共要八个，不许多也不许少。

为什么？

因为分上下排，只排三次，位置的变化总共有八个，而且也只有八个。所以钱少了就有空位置，钱多了就有变化重复的。

怎样知道位置的变化总共有八个，而且只有八个呢？

不错，这是我们应当注意到的问题的核心，但是我现在还不能回答这个，且把问题再来盘弄一回。

“八仙过海”这玩意总共有下面的几个条件：

（1）八个钱；

（2）分上下两排摆；

（3）前后总共排三次；

（4）收钱的顺序是照直行由上而下，从第一行起^[1]；

（5）摆钱的顺序是照横排由左而右，从第一排起。

（4）（5）是排的步骤，（1）（2）（3）都直接和数学关联。前面已经回答过了，倘使（2）（3）不变，（1）的数目也不能变。那么，假如（2）或（3）改变一下，（1）的数目将怎样？

我简单地回答你，（1）的数目也就跟着要变。换句话说，若排数加多“（2）变”或是排的次数加多“（3）变”，所需要的钱就不只八个，不然便有空位要留出来。

先假定排成三排，那么我告诉你，就要二十七个钱，因为上、中、下三个位置三次可以调出二十七个花样。你不信吗？请看下图：

第九图

第十图

第十一图

第九图本来是任意摆的，不过为了说明方便，所以假定了一个从（1）到（27）的顺序。

从第九图，参照（4）（5）两步骤，就可摆成第十图。

从第十图，参照（4）（5）两步骤，就可摆成第十一图。

现在我们来猜了。

甲说“上中下”——他认定的是6；

乙说“中下上”——他看准的是16；

丙说“下上中”——他瞄着的是20；

丁说“中中中”——他注视的是14；

……

总共二十七个钱，无论别人看定的是哪一个，只要他没有把三次的位置记错或说错，都可以拿出来。

这更奇妙了，又有什么秘诀呢？

没有，没有，没有，回答三个“没有”或五个“没有”。“八仙过海”的秘诀不过比一定的法则来得灵动些，所以才用得着。现在要找二十七个字可以代表上、中、下的位置变化，实在没这般凑巧，即或有，记起来也一定不便当。那么，怎样找出别人认准的钱来呢？

好，你要想知道，那我们就来仔细考察第十一图，我将它画成第十二图的样子。

第十二图

图中分成三大段，你仔细看：第一段的九个是1到9，在第九图中，恰好都在上一排，所以我在它的下面写个大的“上”字；第二段的九个是10到18，在第九图中恰好都在中一排，所以下面写个大的“中”字；第三段的九个是从19-27，在第九图中恰好都是下一排，所以用一个大的“下”字指明白。

你再由各段中看第一行，它们在第十图中都是站在上一排；各段中的第二行，在第十图中都站在中一排；而各段的第三行，在第十图中都站在下一排。

这样，你总可明白了。甲说“上中下”，第一次是上，所以应当在第一段；第二次是中，所以应当在第一段的第二行；第三次是下，应当在第一段第二行的下一排，那不是6吗？

又如乙说“中下上”，第一次是中，应当在第二段；第二次是下，应当在第二段的第三行；第三次是上，应当在第二段第三行的上一排，那不就是16吗？

你再将丙、丁……所说的去检查看。

明白了这个法则的来源和结果，依样画葫芦，无论排几排都可以，肯定成功，而且找法也和三排的一样。例如我们排成四排，那就要六十四个钱，我只将图画在下面，供你参考。说明呢，不再重复了。至于五排、六排、十排、二十排都可照推，你无妨自己画几个图去看。

第十三图

第十四图

第十五图

譬如有人说“二四三”，那么他看定的钱在第十五图中的第二段第四行第三排，就是31；若他说“四三一”，那就应当在第十五图中的第四段第三行第一排，他所注视的是57。

上面讲的是排数增加，排的次数不变。现在假定排数不变，只是排的次数变更，再看有什么变化。我们就限定只有上下两行排。

第一步，譬如只排一次，那么这很清楚，只能用两个钱，三个就无法猜了。

若排两次呢，那就用四个钱，它的变化如下：

第十七图

第十六图

它的变化是：

三次就是“八仙过海”，不用再说。譬如排四次呢，那就用十六个钱，排法和上面说过的一样，变化的图如下：

第十八图

第十九图

第二十图

第二十一图

例如有人认定的钱的四次的位置是“上下下上”，那么应当在第二十一图中的第一段第二分段第二行的上排，是7；又如另有一个人说他认定的钱的位置是“下下上上”，那就应当在第二十一图中的第二段第二分段第一行的上一排，便是13。

照推下去，五次要用三十二个钱，六次要用六十四个钱……喜欢玩的朋友无妨当作消遣去试试看。

总结一下：前面说“八仙过海”的五个条件，由这些例子看起来，第一个是跟着第二、第三个变的。至于第四、第五，关于步骤的条件和前三个都没有什么直接关系。它们也可以变更。例如（4）我们也可以由下而上，或从末一行起，而（5）也可以由右而左从第一排起。不过这么一来，所得的最后结果形式稍有点儿不同。

从我们所举过的例子看，钱的数目是这样：

（1）分两排：

（a）排一次——2个

（b）排二次——4个

（c）排三次——8个

（d）排四次——16个

（2）分三排：

（a）排一次——3个（我们可以想得到的）

（b）排二次——？个（请你先想想看）

（c）排三次——27个

（d）排四次——？个

（4）分四排：

（a）排一次——4个（我们可以想得到的）

（b）排二次——？个

（c）排三次——64个

（d）排四次——？个

这次却真的到了底，我们要解决的问题是：

“分多少排，总共排若干次，究竟要多少钱，而且只能要多少钱？”

上面已举出的钱的数目，在那例中都是必要而且充足的，说得明白点，就是不能多也不能少。我们怎样回答上面的问题呢？假如你只要一个答案就满足，那么是这样的：

设排数是a，排的次数是x，钱数是y，这三个数的关系如下：

y=ax

我们将前面已讲的例代进去，看看这个话是否靠得住：

（1）（a）a=2，x=1，∴y=21=2

（b）a=2，x=2，∴y=22=4

（c）a=2，x=3，∴y=23=8

（d）a=2，x=4，∴y=24=16

（2）（a）a=3，x=1，∴y=31=3(www.chuimin.cn)

（b）a=3，x=2，∴y=32=9（对吗？）

（c）a=3，x=3，∴y=33=27

（d）a=3，x=4，∴y=34=81（？）

（3）（a）a=4，x=1，∴y=41=4

（b）a=4，x=2，∴y=42=16（？）

（c）a=4，x=3，∴y=43=64

（d）a=4，x=4，∴y=44=256（？）

照这个结果来看，我们所用过的例子都合得上，那个回答大概总有些可靠了。就是几个不曾试过的数，想起来也还不至于错误。不过单是这样还不行，别人总得问我们理由。此刻是无可拖延，只得找出理由来。

真要理由吗？就是将我们所用过的例子合在一起用脑力去想，一定可以想得出来的。不过，这实在大可不必，有别人的现成架子可以装得上去时，直接痛快地装上去多么爽气。那么，在数学中可以找到这一栏吗？

可以。那就是顺列法，我们就来说顺列法吧。

先说什么叫顺列法。

有几个不相同的东西，譬如A，B，C，D……几个字母，将它们的次序颠来倒去地排，计算这排法的数目，这种方法就叫顺列法。

第二十二图

顺列法的计算本来比较复杂，而且一不小心就容易弄错，要想弄清楚，自然只好去读教科书或是去请教你的数学教师。这里不过说着玩玩，只得限于基本的几个法则了。

第一，我们来讲几个东西全体的、不重复的顺列。这句话须得解释一下，譬如有A、B、C、D四个字母，我们一齐将它们拿出来排，这叫全体的顺列。所谓不重复是什么意思呢？那就是每个字母在一种排法中只需用一回，就好像甲、乙、丙、丁四个人排座位一样，甲既然坐了第一位，其余的三位当然不能再坐他的座位了。

要计算A、B、C、D这种排列法，我们先假定有四个位置在一条直线上，譬如是桌上画的四个位置，A、B、C、D是写在四个铜圆上的。

第一步我们来就第一个位置想，A、B、C、D四个钱全都没有排上去，所以无论我们用哪一种摆法都行。这就可以知道，第一个位置有4种排法。我们取一个钱放到了1，那就只剩三个位置和三个钱了，跟着来摆第二个位置。

外面剩的钱还有三个，第二个位置无论用这三个当中的哪一个去填它都是一样。这就可以知道，第二个位置有3种排法。到了第二个位置也有一个钱将它占领时，桌子上只剩两个位置，外边只剩两个钱了。

第三个位置因为只有两个钱剩在外面，所以填的方法也只有2个。

当第三个位置也被一个钱占领了时，桌上只有一个空位，外面只有一个闲钱，所以第四个位置的排法便只有1个。

为了一目了然，我们还是来画一个图。

第二十三图

仔细观察第二十三图第一位，无论是A、B、C、D四个当中的哪一个，A，或B，或C，或D，第二位都有三个排法，所以第一、第二位合在一起共有的排法是：

4×3

而第二位无论是A、B、C、D中的哪一个，第三位都有两个排法，所以一、二、三、四个位置连在一起算，总共的排法是：

4×3×2

至于第四位，跟着第三位已经定了，只有一个方法，因此第四个位置总共的排法是：

4×3×2×1=24

我们由图上去看，恰好总共是二十四排。

假如桌上有五个位置，外面有五个钱呢？那么第一个位置照前面说过的有5种排法，第一位排定以后，下面剩四个位置和四个钱，它们的排法便和前面说过的一样了，所以五个位置的钱的排法是：

5×4×3×2×1=120

前面是从1起连续的整数相乘一直乘到4，这里是从1起乘到5。假如有六个位置和六个钱，同样我们很容易知道是从1起将连续的整数相乘乘到6为止，就是：

6×5×4×3×2×1=720

譬如有八个人坐在一张八仙桌上吃饭，那么他们的坐法便有40320种，因为：

8×7×6×5×4×3×2×1=40320

你家请客常常碰到客人推让座位吗？真叫他们推来推去，要让完这40320种排法，从天亮到天黑也让不完呢。

一般的法则，假设位置是n个，钱也是n个，它们的排法便是：

n×（n-1）×（n-2）×……×5×4×3×2×1

这样写起来太不方便了，不是吗？在数学上，对于这种从1起到n为止的n个连续整数相乘的把戏，给它起一个名字叫“n的阶乘”，又用一个符号来代表它，就是n！，用式子写出来便是：

n的阶乘=n！=n×（n-1）×（n-2）×……×5×4×3×2×1

所以　8的阶乘=8！=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

6的阶乘=6！=6×5×4×3×2×1=720

5的阶乘=5！=5×4×3×2×1=120

4的阶乘=4！=4×3×2×1=24

3的阶乘=3！=3×2×1=6

2的阶乘=2！=2×1=2

1的阶乘=1！=1

有了这个新的名词和新的符号，说起来就便当了！

“n个东西全体不重复的排列就等于n的阶乘n！。”

但在平常我们排列东西的时候，往往遇见位置少而东西多的情形。举个例说，譬如你有一位朋友，他运道来了，居然奉国民政府的命令去当什么县的县长。这时你跑去向他贺喜，这自然是值得贺的，不是吗？已升官就可发财了！但是当你看到他时，一眼就可以看出来，他的脸孔上直一条、横一条的喜纹当中也夹着正一条、歪一条的愁纹。你若问他愁什么，他定会告诉你，一个衙门里不过三个科长、六个科员、两个书记，荐人来的便签倒有三四十张，这实在难于安排。

真的，朋友，莫怪你的朋友难于安排，他想不得罪人简直不行！就算他只接到三十张荐人的便签，就算他的衙门里从科长数到洗马桶的总共要用三十个人，但是人全是两道眉毛横在两只眼睛上的，哪个会看得见自己的眉毛的粗细，哪个不想当第一科科长！倘使你的朋友请你替他安排，你左排也不是，右排仍然不是，你也只得在脸上挂起愁纹来了。三十个人排来排去有多少？我没有这样的闲工夫去算，你只要想，单是八的阶乘就已有40320了，那三十的阶乘将是多么大的一个数！

笔一滑，又说了一段空话，转到正文吧。

譬如你那朋友接到的便签当中只有十张是要当科长的，科长的位置总共是三个，有多少种排法呢？这就归到第二种的顺列法。

第二，我们来讲几个东西部分的、不重复的顺列法。因为粥少僧多，所以只有一部分人的便签有效。因为国民政府的命令兼差不兼薪，没有哪个人这般傻气，吃一个人的饭肯做两个人的事，所以排起来不重复。

从十张便签中抽出三个来，分担第一、第二、第三科的科长，这有多少法子呢？

朋友，你对于第一个法子若是真明白了，这一个是很容易的。第一科长没有定人时，十张便签都有同样的希望，所以这个位置的排法是10。

第一科长已被什么人得去了，只剩九个人来抢第二科的科长，所以第二个位置的排法是9。同一个道理第三个位置的排法是8，照第一种方法推来，这三个位置的排法总共应当是：

10×9×8=720

若是你的朋友接到的便签中间，想当科长的是十一个或九个，那么其排法就应当是：

11×10×9=990

或9×8×7=504

若是他的衙门里还有一个额外科长，总共有四个位置，那么他的安排应当是：

10×9×8×7=5040

11×10×9×8=7920

或9×8×7×6=3024

我们仍然用n代表东西的数目（在数学上算数的时候，朋友，你不必生气，人也只是一种东西，倒无关于他有没有当科长的福分），不过位置的数目既然和东西的不同，所以得另用一个字母来代表，譬如用n，我们的题目变成了这样：

“在n个东西里面取出m个来的排法。”

照前面的推论法，m个位置，n个东西，第一位的排法是n；第二个位置的排法，东西已少了一个，所以只有n-1；第三个位置，东西又少了一个，所以只有n-2个排法……照推下去，直到第m个位置，它的前面有m-1个位置，而每一个位置都拉了一个人去，所以被拉去的共有m-1个人，就总人数说，这时已少了m-1个，只剩n-（m-1）个了，所以这个位置的排法是n-（m-1）。

这样一来，总共的排法便是：

n×（n-1）×（n-2）×（n-3）……×［n-（m-1）］

比如n是11，m是4，代进去就得：

11×（11-1）×（11-2）×（11-3）=11×10×9×8=7920

在实际上只要从n写起，往下总共连着写n个就行了。

这种排法也有一个符号，就是nPm。P左边的n表示总共的个数，P右边的m表示取出来排的个数，所以如在26个字母当中取出5个来排，它的方法总共就是26P5^[2]。

将上面的计算用这符号连起来，就得出下面的关系：

这里有一件很有趣味的事，譬如我们将前面说过的第一种排法也用这里的符号来表示，那就成为nPn，所以：

在n个东西当中去了m个，剩的还有n-m个，这n-m个若自己掉来掉去地排，它的数目就应当是：

朋友，我问你，用（n-m）！去除n！得什么？

如果你们想不出，我就将它们写出来：

从这个式子一看分子和分母将公因数消去后，恰好得：

这式子的右边和（1）式的完全一样，所以：

这个式子很有意思，我们可以这样想：从n个当中取出m个来排，和将n个全排好，从第m+1个起截断一样，因为nPn是n个的排列，n-mPn-m是m个以后所余的东西的排列。

举个例来说，5个字母取出3个来的排法是5P3，而5-3=2，

关于这两种顺列法的计算，基本原理就是这样。但应用起来却不容易，因为许多题目往往包含着一些特殊条件，它们所能排成功的数目就会减少。譬如八个人坐的是圆桌，大家预先又没有说明什么叫首座，这比他们坐八仙桌的变化就少得多。又譬如在八个人当中有两个是夫妻，非挨着坐不可，或是有两个是生冤家死对头，不能坐在一起，或是有一个人是左手拿筷子的，若坐在别人的右边不免要和别人的筷子冲突起来。这些条件是数不尽的，只要有一个存在，排列的数目就得减少。朋友，你要想详细知道，我只好劝你去读教科书或去请教你的教师，这里却不谈了。

呵！你也许不免要急得跳起来了吧？说了半天，和“八仙过海”有什么关系呢？这是应当赶快解决的，不错。但还得请你忍耐一下，单是这样，这架子还不够，不能好好地将“八仙过海”这一类的玩意儿往上摆。我们得另说一种别的排列法。

前面的两种都是不重复的，但“八仙过海”每一个钱的三次位置不是上就是下，所以总得重复，这种排列法究竟和前面所说过的两种有点儿大同小异，就算它是第一种吧。

第三种是n种东西m次数可重复的顺列。就用“八仙过海”来作例，排来排去，不是上便是下，所以就算有两种东西，我们无妨用a、b来代表它们。

第二十四图

首先说两次的排法，就和第二十四图一样。第一个位置因为我们只有a、b两种不同的东西，所以只好有2种排法。

但是在这里，因为a和b都可重用的缘故，就是第一个位置被a占了，它还是可以有2个排法；同样地，它被b占了也仍然有2个排法。因此总共的排法应当是：

第二十五图

譬如像“八仙过海”一般，排的是3次呢，照这里的话说，就是有三个位子可排，那么就如第二十五图的样，全体的排法是：

2×2×2=23=8

这不就说明了“八仙过海”，分上下两排，总共排三次，位置不同的变化是8吗？

第二十六图

我们前面曾经说过分三排只排三次的例子，用a，b，c代表上、中、下，说明是一样的，暂且省略。就第二十六图看，可以知道排列的总方法是：

3×3×3=33=27

这个数目和我们前面所用的钱恰好一样。

照同样的例子，分一、二、三、四，四排只排三次的数目是：

4×4×4=43=64

第二十七图

前面还说过排数不变、次数变的例子。两排只排三次，已说过了。两排排四次呢，那就如第二十七图，总共能排的数目应当是：

2×2×2×2=24=16

若排的是三排，总共排四次，照同样的道理，它的总数是：

3×3×3×3=34=81

以前所举出的例子都可照样推算出来。将这几个式子在一起比较，乘数是跟着排数变的，乘的次数，就是指数，是跟着排的次数变的，所以若排数是a，排的次数是x，钱数是y，那么，

y=ax

用一般的话来说，就是这样：

“n种东西，m次数可重复的顺列，便是n的m次乘方，nm。”

所谓“八仙过海”，现在可算明白了，不过是顺列法中的一种游戏，有什么奇妙呢？你只要记好y等于a的x乘方这个式子，你想分几排，排几次，心里一算就可知道，应当请几位神仙下凡。你再照前面所说过的（4）（5）两个步骤去做，神仙的道法虽高，如来佛的手心却可伸缩，岂知孙悟空的筋斗云无用呢？

【注释】

[1]编者注：作者生活的年代的“行”的意思相当于现代的“列”，数数规则是从右往左数，也与现代不同。

[2]编者注：现代表示法为。