数学之趣：堆罗汉游戏中的数学规律

堆罗汉这种游戏，在学校中很常见，这里用不到再来说明，只不过举它做个例：从最下排起数上去，每排次第少一个人，直到顶上只有一个人为止。像这类依序相差同样的数的一群数，在数学上我们叫它们是等差级数。关于等差极数的计算，其实并不难懂，小学的数学课本里面也都有讲到，所以这里也将它放在一边，只讲从1起到某一数为止的若干个连续整数的和，用式子表示出来，就是：

（1）1+2+3+4+5+6+7+……

和这个性质相类似的，还有从1起到某数为止的各整数的平方和、立方和，就是：

（2）12+22+32+42+52+62+72+……

（3）13+23+33+43+53+63+73+……

第一图

从第一图看去，这个长方形由A，B两块组成，而B恰好是A的倒置，所以：

A=1+2+3+4+5+6+7

B=7+6+5+4+3+2+1

A，B的总和是相同的，各等于整个矩形的面积的一半。至于这个矩形的面积，只要将它的长和宽相乘就可得出了，它的长是7，宽是7+1，因此面积便是：

7×（7+1）=7×8=56

而A的总和正是这56的2分之1，由此我们就得出一个式子：

这个式子推到一般的情形去，就变成了：

第二、第三个例，我们也可以用图形来研究它们的结果，不过比较繁杂，但也更有趣味，现在还是分开来讨论吧。

第二图

从第二图，我们注意小方块的数目和大方块的关系，很明白地可以看出来：

12=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

……

72=1+3+5+7+9+11+13

若用话来说明，就是2的平方恰好等于从1起的2个连续奇数的和；3的平方恰等于从1起的3个连续奇数的和，一直推下去，7的平方就是从1起的7个连续奇数的和。所以若要求从1到7的7个数的平方和，只需将上列七个式子的右边相加就可以了。虽然这个法子没有什么不合理的地方，毕竟不简便，而且从中要找出一般的式子也不容易，因此我们得另找一条路。

试将各式的右边表示的和，照堆罗汉的形式堆起来，我们就得出第三图的形式：（为了简便，只用1，2，3，4四个数。）

第三图

第四图

第五图

第六图

从这几个图，可以看出这样的结果，12+22+32+42这个总和当中有4个1，3个3，2个5，一个7。所以我们要求的总和，依前一个形式可以排成第四图，依后一个形式可以排成第五图。将它们比较一下，我们马上就知道若将第四图倒置，拼到第五图，那么右边就没有缺口了；若将第四图不但倒置而且还翻一个身，拼成第六图，那么，左边也就直了。所以用两个第四图和一个第五图刚好能够拼成第六图那样的一个矩形。由它，我们就可知道所求的和正是它的面积的三分之一。

至于这个矩形：它的长是，宽却是4+1+4=9。因此，它的面积应当是10×9=90，而我们所要求的12+22+32+42的总和应当等于90的三分之一，那就是30。按照实际去计算12+22+32+42=1+4+9+16，也仍然是30。由此可知，这个观察没有一丝错误。

若要推到一般的情形去，那么，第六图这个矩形的长是：

而它的宽却是：

n+1+n=2n+1

所以它的面积就应当是：

这就可证明：

比如，我们要求的是从1到10十个整数的平方和，n就等于10，这个和便是：

说到第三个例子，因为是数的立方的关系，照通常的想法，只能用立体图形来表示，但若将乘法的意义加以注意，用平面图形来表示一个立方，也不是完全不可能。先从23说起，照原来的意思本是3个2相乘，若用式子写出，那就是2×2×2。这个式子我们也可以想象成（2×2）×2，这就可以认为它所表示的是2个2的平方的意思，可以画成第七图的A，再将形式变化一下，可得出第七图的B。

第七图

第八图

第九图

第十图

同样地，33可以用第八图的A或B表示，而43可以用第九图的A或B表示。

仔细观察一下第七、八、九图的B，我们得出下面的关系：

第七图的B的缺口恰好是12，但13和12，我们用同一形式表示，在意义上没有很大的差别，所以13刚好可以填23的缺口。

第八图B的缺口，每边都是3，这和第七图B的外边相等，可知13和23一起，又正好可将它填满。

最后，第九图的B的缺口每边都是6，又恰等于第八图的B的外边。因此13，23和33并在一起，也能将它填好。按照这个填法，我们便得第十图，它恰巧是13+23+33+43的总和。

从另一方面来说，第十图只是一个正方形，每边的长都等于：

1+2+3+4

所以它的面积应当是（1+2+3+4）的平方，因此我们就证明了下面的式子：

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

但这式子右边括弧里的数，照第一个例应当等于：

因此：

推到一般的情形去：

上面的三个例子，我们都只凭了几个很小的数字的观察，便推到一般的情形去，而得出一个含有n的公式。n代表任何整数，这个推证究竟可不可靠呢？换句话说，就是我们的推证有没有别的根据呢？按照实际的情形说，我们已得出的三个公式都是对的。但它对不对是一个问题，我们的推证法可不可靠又是一个问题。

我来另举一个例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方14641。从这几个数，我们可以看出三个法则：第一，这些数排列起来，对于中点说，都是对称的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒数第二位都等于乘方的次数。依这个观察的结果，我们可不可以说11的n次方便是1n……n1呢？要下这个判断，我们无妨再举出一个次数比4还高的乘方来看，最简便的自然就是5。11的5乘方，照实际计算的结果是161051。上面的三个条件，只有第二个还存在，若再乘到8次方，结果是214358881，就连第二个条件也不存在了。

由这个例子，可以看出来，单就几个很小的数的变化观察得的结果，便推到一般去，不一定可靠。由这个理由，我们就不得不怀疑我们前面所得出的三个公式。倘使没有别的方法去证明，在那三个例中是有特殊的情形可以用那样的推证法，那么，我们宁愿去找另外一条路来解决。

是的，确实应该对前面所得出的三个公式产生怀疑，但我们也并非毫无根据。第一个式子最少到7是对的，第二、第三个式子最少到4也是对的。我们若耐心地接着试验下去，可以看出来，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是对的。但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。

我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”它的形式是对的，再来加以检查，为了方便，容我在此重写一次：(www.chuimin.cn)

在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然只是依照式子的“形式”去考查，但这种考查我们用不着怀疑。在某种意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。

所谓n变到n+1，无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：

从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式完全相同。因此，我们得出一个极重要的结论：

“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”

事实上，我们已经观察出来了，这三个式子至少对于4都是对的。运用这个结论，我们无需再试验，也就有理由可以断定它们对于5（4+1）都是对的。既然对于5对了，那么同一理由，对于6（5+1）也是对的，再推下去对于7（6+1），8（7+1），9（8+1）……都是对的。

到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。这种证明法，我们叫它是数学的归纳法。

数学上常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。关于堆罗汉这类级数的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。本来：

S=1+2+3+……+（n-2）+（n-1）+n

若将这式子右边各项的颠倒顺序，就得：

S=n+（n-1）+（n-2）+……+3+2+1

再将两式相加，便得出下面的式子：

两边再用2去除，于是：

这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点儿用不着怀疑，不过我们所用的方法究竟可不可靠也得注意。

一般说来，演绎法不大稳当，因为它的基础是建筑在一些更普遍的法则上面，倘使这些被它所凭借的、更普遍的法则当中，有几个或一个根本就不大稳固，那不是将有全盘动摇的危险吗？比如这个证明，第一步，将式子左边各项的顺序掉过，这是根据一个更普遍的法则叫作什么“交换定则”的。然而交换定则在一般情形固然可以运用无误，但在特殊的情形时，并非毫无问题。所以假如我们肯追根究底的话，这个证明法可以适用交换定则，也得另有根据。至于证明的第二、第三步，都是依据了数学上的公理，公理虽然没有什么证明做保障，但不容许怀疑，这可不必管它。

归纳法既比演绎法来得可靠，我们无妨再来探究一下。前面我们所用过的步骤，归纳起来有四个：

（一）根据少数的数目来观察出一个共通的形式；

（二）将这形式推到一般去，“假定”它是对的；

（三）校勘这假定的形式，是否再能往前推去。

（四）如果校勘的结果是肯定的，那么我们的假定就可认为合于事实了。

前面我们曾经说过：

12=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

由这几个式子我们知道：

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

观察这四个式子，可以得出一个共通形式，就是：左边是从1起的连续奇数的和，右边是这和所含奇数的“个数”的平方。

将这形式推到一般去，假定它是对的，那就得出：

1+3+5+……+（2n-1）=n2

到了这一步，我们就要来校勘一下，这形式再往前推一个奇数究竟对不对，我们在式子的两边同时加上（2n-1）下面的一个奇数（2n+1），于是：

1+3+5+……+（2n-1）+（2n+1）

=n2+（2n+1）=n2+2n+1=（n+1）2

从这结果可知，我们的假定如果对于n是对的，那么对于（n+1）也是对的。依我们的观察，假设n等于1，2，3，4的时候都是对的，所以对于5，对于6，对于7，8，9……一步一步地往前推都是对的，所以可认为我们的假定合于事实。

将数学的归纳法和一般的归纳法相比较，这是一个很有趣的问题。大体来说，它俩并没有什么根本的差异。我们无妨说数学的归纳法是一般的归纳法的一种特殊形式，试从我们所截取的步骤来比较一下。

第一步，在它俩当中，都离不开观察和实验，而观察和实验的对象也都同是一些特殊的事实。在我们前面所举的例子当中，似乎只用到观察，并没有经过什么实验。事实上，我们所研究的对象，有些固然是无法去实验，只能凭观察去探究。不过这是另外一个问题。若就步骤上说，我们所举的例子的第一步当中，也不是完全没有实验的意味。比如最后一个例子，我们从1=12这个式子是什么意义也发现不出来，于是只好去看第二个式子1+3=22，就这个式子说，我们能够得出许多假定来。前面所用过的，说左边要乘方的2就是表示右边的项数，这自然是其中的一个。但我们也可以说，那指数2才是表示右边的项数。我们又可以说，左边要乘方的2是右边的末一项减去1。像这类的假定可以找出不少，至于这些假定当中哪一个接近真实，那就不得不用别的方法来证明。到了这一步，我们无妨用各个假设到第三、第四个式子去试验一下，结果，便可看出，只有我们所用过的那一个是合于实际的。一般的归纳法，最初也是这样下手，将我们所要研究的对象尽量收集起来，仔细地去观察，遇着必要且可能的时候，小心地去实验。由这一步，我们就可以看出一些共同的现象来。

至于这些现象，由何产生？会生出什么结果？或是它们当中有什么关联？这，我们往往可以提出若干假定来，正和我们上一节所说的相同，在这些假定当中，自然免不了有一部分是根基极不稳固的，只要凭一些仔细的观察或实验就可推翻的。对于这些，自然在这第一步我们就可以将它们弃掉了。

第二步，数学的归纳法，是将我们所观察得到的形式推到一般去，假定它是真实的。至于一般的归纳法，因为它所研究的并不一定只是一个形式的问题，所以推到一般去的话很难照样应用。虽是这样，精神却没有什么不同，我们就是将自己观察和实验的结果综合起来，提出一些较普遍的假设。

有了这假设，进一步自然是要校勘它们，在数学的归纳法上，如前面所说过的，比较简单，只需将所假定的一般的式子当中的n推到n+1就够了。若在一般的归纳法中，却没有这种便宜可讨。到了这境地，我们得利用演绎法，把我们的假定当作大前提，臆测它们对于某种特殊的事象应当发生什么结果。

这结果究竟会不会有呢？这又得靠观察和实验来证明了。经过若干的观察或实验，假如都证明了我们的臆测是分毫不爽的，那么，我们的假定就有了保障，成了一个定理或定律。许多大科学家往往能令我们起敬、吃惊，有时他们简直好像一个大预言家，就是因为他们的假定的基础很稳固，所以臆测的结果也能合于事实的缘故。

在这里，有一点必须补说明白，若我们提出的假设不止一个，那么根据各个假设都可得出一些臆测的结果来，在没有别的事实来证明的时候，它们彼此之间绝没有什么价值的优劣可说。但到了事实出来做最后的证人时，自然“最多”只有一个假定的臆测可以胜诉。换句话说，也“最多”就只有一个假定是对的了。为什么我们还要说“最多”只有一个呢？因为，有些时候，我们所提出的假设也许全都不对。

一般的归纳法，应用起来虽不容易，但原理却不过如此。我们经过了上面所说的步骤，结果都很好。自然我们就可得出一些定理或定律来，不过有一点必须注意：在一切过程中，无论我们多么小心谨慎，毕竟我们的能力有限，所能探究的领域终不是全体，因此我们证明为对的假定，即使当成定理或定律来应用，我们还得虚心，应当常常想到，也许有新的，我们以前所不曾注意到的现象出来否定它，我们应当承认：

“科学只能诊断事实，不能否定事实。”

这句话是什么意思呢？

科学本来只是从事实中去寻出法则来，若有了一个法则，遇见和它抵触的事实，便武断地将这事实否定，这只是自己欺骗自己。因为事实的存在，并不能由我们空口说白话地否认，便烟消火灭的。

我还是举个例子来说，从这个例子当中，可以看出我们常有的两种态度都不大合理。

一年多以前就听说我们中国的中西医的斗争很激烈，这自然是一个极好的现象！从这斗争中，我相信总会有一些新的东西从医学界产生出来。现在的结果如何，我不曾听见，不敢臆断，好在和我此处要说的话无关，也就无妨丢开。我提到这个问题，只是要说明两种态度——对于中医的两种比较合理的态度。

一种是拥护的，他们所根据的是事实，毕竟中医已有了几千年的历史，医治好了不少病人，这是无可否认的。虚心而有经验的医生，对于某几种病症，也确实有把握，能够着手成春。

一种是反对的，他们所根据的是科学上的原理或法则，无论中医有什么奇效，都没有科学根据，即使有奇效，也只好说是偶然。至于一般中医的五行生克的说法，尤其玄妙，不客气地说，简直是荒唐。

依照前一种人的意见，中医当然应当存在；依照后一种人的意见，它就该被打倒。平心而论，各有各的理由，不全是也不全非。多少免不了一些情感掺杂在里面。若容许我说，那么，中医有它可以存留的部分，不过必须另外打个基础；同时它也有应当被打倒的部分，但并非全盘推翻。然而，这并不是根于什么中庸之道的结论。

既然中医有一部分成功的事实，我们就应当根据科学上的原理或法则去整理它们，找出合理的说明。比如说某种汤头治某种病症是有特效的，我们已从西医知道某项病症发生的原因和要医治它所必需的条件，那么，我们正可以分析一下那汤头合于这个条件的理由。这样，自然就有合理的说明可以得出一个稳固的基础了。拥护的人固然应当这样，才真正能达到目的，就是要推翻的人也应当这样才不是武断、专制！

事实和理论不合，可以说有两个来源：一是我们所见到的事实，并非是真的事实。换句话说，就是我们对于那事实的一切认识未必有科学的依据。譬如，患疟疾的人，画一碗符水给他喝到肚里，那病就好了。这事，我也曾经试做过，真有有效的时候，但我宁可相信，符水和疟疾的治疗风马牛不相及，只不过这两个事实偶然碰在一起，我们被它蒙混着罢了。真的，我从前给别人画符水，说来就可笑，我根本就不知道应当怎么画！

还有一个来源，便是科学上的原理或法则本身有缺点，比如对于某种病，西医用的是一种药，而中医用的是汤头，分析的结果和它全不相关，那么这种病就可以有两种治疗法，并非中医的就不对，因为已经有了对症治好的事实，这无可否认。

所谓科学诊断事实，由这个例子大致就可以说明白：第一，是诊断事实的真伪；第二，倘使诊断出它是真实的了，进一步就要找出合理的说明。所以科学的精神，最根本的是不武断、不盲从！我们常常听人家说，某人平时批评起别人来都很有道理，但事情一到他手里一样糟。这确实也是一个事实！对于这个事实，有些人就聪明地这样解释：学理是学理，事实是事实。从这解释当中还衍生出一个可笑的说法，那就是“书呆子”这个名词含有不少的轻蔑意味。其实凭空虚造的学理，哪里冒充得来真的学理？而真的学理，哪儿有不能应用到事实上去的理由呢？

话说得有些远了，归结一句，科学的态度是要虚心地去用科学的方法。