函数依赖范式及其关系

2023-11-24 理论教育版权反馈

【摘要】：函数依赖是数据依赖的一种，函数依赖反映了同一关系中属性间一一对应的约束。函数依赖理论是关系的1 NF、2 NF、3 NF和BC NF的基础理论。在理解函数依赖概念时，应当注意以下相关概念及表示。传递函数依赖记作。关系数据库中，凡非规范化的关系必须化成规范化的关系。3 NF是一个可用的关系模式应满足的最低范式。③没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。

函数依赖是数据依赖的一种，函数依赖反映了同一关系中属性间一一对应的约束。函数依赖理论是关系的1 NF、2 NF、3 NF和BC NF的基础理论。

1.关系模式的简化表示法

关系模式的完整表示是一个五元组

R（U，D，Dom，F）

其中，R为关系名；U为关系的属性集合；D为属性集U中属性的数据域；Dom为属性到域的映射；F为属性集U的数据依赖集。

由于D和Dom对设计关系模式的作用不大，在讨论关系规范化理论时，可以把它们简化掉，从而使关系模式可以用三元组表示为

R（U，F）

从上式可以看出，数据依赖是关系模式的重要因素。数据依赖（Data Dependency）是同一关系中属性间的相互依赖和相互制约。数据依赖包括函数依赖（Functional Dependency，FD）、多值依赖（Muhivalued Dependency，MVD）和连接依赖（Join Dependency），数据依赖是关系规范化的理论基础。

2.函数依赖的概念

定义2－1：设R（U）是属性集U上的关系模式，X、Y是U的子集。若对于R（U）的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等，而Y上的属性值不等，则称X函数确定Y函数，或Y函数依赖于X函数，记作X→Y。

例如，对于教学关系模式：

教学（U，F）；

U＝{学号，姓名，年龄，性别，系名，系主任，课程名，成绩}；

F＝{学号→姓名，学号→年龄，学号→性别，学号→系名，系名→系主任，（学号，课程名）→成绩}。

函数依赖是属性或属性之间一一对应的关系，它要求按此关系模式建立的任何关系都应满足F中的约束条件。在理解函数依赖概念时，应当注意以下相关概念及表示。

定义2－2：在R（U）中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X′，都有X′→\Y。则称Y对X完全函数依赖，记作：；若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作。

例如，在教学关系模式中，学号和课程名为主码。模式中，有些非主属性完全依赖于主码，另一些非主属性部分依赖于码。如：（学号，课程名）成绩，（学号，课程名）姓名。

定义2－3：在R（U）中，如果X→Y，（Y pagenumber_ebook=28,pagenumber_book=22 X），Y→\X，Y→X，则称Z对X传递函数依赖。传递函数依赖记作。

例如，在教学模式中，因为存在：学号→系名，系名→系主任；所以也存在：学号系主任。

3.1NF的定义

关系的第一范式是关系要遵循的最基本的范式。

定义2－4：如果关系模式R，其所有的属性均为简单属性，即每个属性都是不可再分的，则称R属于第一范式（First Normal Form，简称ⅠNF），记作R∈1 NF。

例如，教学模式中所有的属性都是不可再分的简单属性，即：教学∈1 NF。

不满足第一范式条件的关系称之为非规范化关系。关系数据库中，凡非规范化的关系必须化成规范化的关系。关系模式如果仅仅满足第一范式是不够的，尽管教学关系服从1 NF，但它仍然会出现插入异常、删除异常、修改复杂及数据冗余大等问题。只有对关系模式继续规范，使之服从更高的范式，才能得到高性能的关系模式。

4.2NF的定义

定义2－5：若R∈1NF，且每一个非主属性完全依赖于码，则R∈2 NF∽，。.＋

下面分析一下关系模式：“教学”的函数依赖，看它是否服从2NF。如果“教学”模式不服从2NF，可以根据2NF的定义对它进行分解，使之服从2NF。在教学模式中：

属性集＝{学号，姓名，年龄，系名，系主任i课程名，成绩}。

函数依赖集＝{学号→姓名，学号→年龄，学号→性别，学号→系名，系名→系主任，（学号，课程名）→成绩}。

主码＝（学号，课程名）。

非主属性＝（姓名，年龄，系名，系主任，成绩）。

非主属性对码的函数依赖＝{（学号，课程名）姓名，（学号，课程名）年龄，（学号，课程号）性别，（学号，课程名系名，（学号，课程名系主任；（学号，课程名成绩}。(www.chuimin.cn)

显然，教学模式不服从2NF，即教学∉2NF。

根据2NF’的定义，将教学模式分解为

学生_系（学号，姓名，年龄，性别，系名，系主任）；

选课（学号，课程名，成绩）。

再用2NF的标准衡量学生_系和选课模式，会发现它们都服从2NF，即

学生_系∈2 NF；选课∈2NF。

5.3NF的定义

定义2－6：关系模式R（U，F）中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z pagenumber_ebook=28,pagenumber_book=22 Y）使得X→Y、Y pagenumber_ebook=29,pagenumber_book=23 X、Y→Z成立，则称R（U，F）∈3 NF。

由定义2－6可以证明，若R∈3 NF，则每一个非主属性既不是部分函数依赖于码，也不是传递函数依赖于码。

3 NF是一个可用的关系模式应满足的最低范式。也就是说，一个关系模式如果不服从3 NF，实际上它是不能使用的。

考查学生_系关系，会发现由于学生_系的关系模式中存在：学号→系名，系名→系主任。则：学号系主任。由于主码“学号”与非主属性“系主任”之间存在传递函数依赖，所以学生_系∉3 NF：如果对学生_系关系按3 NF的要求进行分解，分解后的关系模式为

学生（学号，姓名，年龄，性别，系名）；

教学系（系名，系主任）。

显然分解后的各子模式均属3 NF。

6.BC NF的定义

BC NF（Boyce Codd Normal Form）是由Boyce和Codd提出的，它比上述的3 NF又进了一步。通常认为BC NF是修正的第三范式，有时也称它为扩充的第三范式。

定义2－7：关系模式R（U，F）∈1 NF。若X→Y且Y pagenumber_ebook=29,pagenumber_book=23 X时X必含有码，则R（U，F）∈BC NF。

也就是说，关系模式R（U，F）中，若每一个决定因素都包含码，则R（U，F）∈BC NF。由BC NF的定义可以得到，一个满足BCNF的关系模式有如下结论。

①所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖。

②所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全依赖。

③没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。

如果R属于BC NF，由于R排除了任何属性对码的传递依赖与部分依赖，所以R一定属于3 NF。但是，若R∈3 NF，则R未必属于BC NF。

7.BC NF和3NF的比较

BC NF和3 NF、的区别主要反映在以下两点。

①BC NF不仅强调其他属性对码的完全直接的依赖，还强调主属性对码的完全直接的依赖，它包括3 NF，即R∈BC NF，则R一定属于3 NF。

如果一个实体集中的全部关系模式都属于BC NF，则实体集在函数依赖范畴已实现了彻底的分离，消除了插入和删除异常问题。

②3 NF只强调非主属性对码的完全直接依赖，这样就可能出现主属性对码的部分依赖和传递依赖。

有些关系模式属于3 NF，但不属于BC NF。例如，关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。语义为：每一位教师只能讲授一门课程，每门课程由若干教师讲授；每个学生选修某门课程对应一个固定的教师。由语义可以得到STJ模式的函数依赖为：

F＝{（S，J）→T，T→J}

显然：（S，J）和（T，S）都是关系的码；关系的主属性集为{S，T，J}，非主属性为∅（空集）。由于STJ模式中无非主属性，所以它属于3 NF；但因为存在T→J，由于T不是码，故STJ∉BC NF。那些不服从BC NF的关系模式仍然存在不合适的地方。非BC NF的关系模式可以通过分解的方法将其转换成BC NF。例如，STJ模式可以分解为ST（S，T）和JT（J，T）两个模式，其分解后的子模式都属于BC NF。

函数依赖范式及其关系

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