视觉测量技术-张正友法的摄像机标定成果

2023-11-24 理论教育版权反馈

【摘要】：张正友法是介于传统标定方法和自标定方法之间的一种方法。张正友法采用平面标定模板，只需对标定模板的不同方向进行拍摄，而不需知道标定板的运动方式。图5.20 张正友法标定流程1.基本投影方程符号说明首先，根据前述的摄像机模型，对本小节中将要用到的符号进行说明。它们的齐次矢量表示形式分别为，。在这种情况下，需要用非线性优化使这种偏差达到最小，从而获得使偏差最小时的参数为摄像机参数的估计值。

张正友法是介于传统标定方法和自标定方法之间的一种方法。这种方法既避免了传统方法设备要求高，操作繁琐的缺点，又较自标定方法精度高。张正友法采用平面标定模板，只需对标定模板的不同方向进行拍摄，而不需知道标定板的运动方式。

张正友法标定流程如图5.20所示。首先，建立平面网格状的标定模板，网格状模板上的网格交叉点，就是标定控制点。其在网格标定模板上的坐标值是已知的。这个坐标值是世界坐标系的坐标值。建立标定模板后，接下来从不同角度拍摄模板，得到多幅标定模板图像。然后，对标定模板进行图像处理，检测标定模板上的标定控制点图像坐标。接下来，根据控制点的模板坐标和图像坐标估计摄像机参数的解析解。然后，通过最小方差求出偏转系数。最后，根据非线性规划求出最终的迭代结果。

图5.20 张正友法标定流程

1.基本投影方程

（1）符号说明

首先，根据前述的摄像机模型，对本小节中将要用到的符号进行说明。将计算机图像坐标系内的二维点矢量表示为m=[u，v]^T，世界坐标系内的三维空间点表示为M=[XYZ]^T。它们的齐次矢量表示形式分别为，。摄像机采用小孔透视模型可以得到

式中，[RT]是外参数矩阵；K是内参数矩阵，即

式中，（u₀，v₀）为像主点坐标；f_u，f_v分别为u、v轴的尺度因子；μ为畸变因子。

（2）标定模板平面和图像的单应性

令标定模板平面的Z坐标为零（世界坐标系），其中旋转矩阵可以表示为R=[r₁，r₂，r₃]^T，T为摄像机平移矢量，则有

令M′=[xy 1]，则有

式中，H为单应矩阵。

（3）对内部参数的约束

给定标定模板平面和摄取图像后，单应性可以估计出来。令单应性矩阵H=[h₁h₂h₃]，从式（5.152）中可以得到

式中，λ为任意比例因子。利用r₁、r₂的正交关系可以得到

如果没有上述从实际需要或内在隐含的条件中得到约束，进一步计算是不可能的。因为有8个自由度，6个内部参数，但只能得到2个约束方程。其中的K^-TK^-1明显是描述了1个二次曲线。下面将会给出几何解释。

（4）几何解释

不难得到在摄像机坐标系中描述的模板平面的方程，即

式中，W=0，表示在无穷远处的平面；否则W=1。由射影几何的知识可知这个平面与无穷远处的平面交于一条直线，所以利用旋转矩阵的正交性可以得到

是这条直线上的点，这条直线的方程可以写为

现在，计算上面直线和二次曲线的交点。定义X_∞为一个圆极点且满足X^T_∞X_∞=0则可以得到

交点在图像平面上的投影为

很明显，这个是上面所提到的二次曲线上的点，这样可以得到约束

2.标定参数的求解

在标定参数求解过程中，首先将得到解析解，然后利用基于最大似然的非线性方法进行优化，最后将求解考虑镜头的畸变的标定结果。（1）解析解首先令

注意到B是对称的，所以有

令H_i是矩阵H的第i列，可以得到

其中

通过上一节所述的约束条件，可以将式（5.162）写成

如果有n幅模板平面的图像则可以得到

式中，V是2n×6矩阵。当n>2时，可以得到b的惟一解，并根据b来求解摄像机的内部参数矩阵K，有

只要内部参数一定，则外部参数就可以很容易得到

（2）最大似然估计

上面的求解摄像机内外参数的方法是基于最小距离的，但这在物理上是没有什么意义的。可以拍摄具有m个特征点的n张模板图像，每个点都有独立同分布的噪声。则最大似然解可以通过求解下列式的最小值得到

式中，是点M_j的投影。式（5.168）是一个非线性优化的问题，可以利用LM（Levenberg Marquardt）优化算法（梯度下降法和高斯牛顿法的结合）解决。不过这需要很好的初始值，这些需要的初始化的值包括内参数矩阵K，旋转矩阵R_i和平移矩阵T_i（其中，i=1，2，…，n）。这些参数可以通过上面提到的方法求得。

（3）非线性优化算法

根据摄像机模型，将已知物体空间特征点投影到图像平面上，得到该特征点基于摄像机模型的理想图像坐标（U_i，V_i）。理想图像坐标与摄像机实际探测到的图像坐标（u_i，v_i）存在偏差。在这种情况下，需要用非线性优化使这种偏差达到最小，从而获得使偏差最小时的参数为摄像机参数的估计值。优化的目标函数用解析式表示为

其中

因此非线性优化的过程就是使式（5.169）极小化的过程，即

式中，x=[x₁x₂…x_n]^T，且一般m≥n。式（5.171）极小化问题的解决要采用递归搜索，因此目标函数F（x）的极小化过程的计算量非常大。可采用许多非线性优化算法，其中LM优化算法的速度最快。下面通过论述最小二乘法来说明该算法。

当每个f_i（x）是x的线性函数时，称式（5.171）为线性最小二乘问题。当每个f_i（x）是x的非线性函数时，称式（5.171）为非线性最小二乘问题。

1）线性最小二乘问题在式（5.171）中，假设(www.chuimin.cn)

式中，p_i为n维列矢量；b_i为实数。那么式（5.169）可用矩阵乘积形式来表达。令

式中，A为m×n矩阵；B为m维列矢量。则

现在求F（x）的平稳点，令

即F（x）平稳点满足

设A列满秩，A^TA为n阶对称正定矩阵。由此可得到目标函数F（x）的平稳点为

由于F（x）是凸函数，因此x必是整体极小点。对于线性最小二乘问题，只要A^TA非奇异（可逆），就可以用式（5.177）来求解。

2）非线性最小二乘法设式（5.169）中的f_i（x）是非线性函数，且F（x）存在连续偏导数。解决这类问题的基本思想是，通过解一系列线性最小二乘问题的解来求非线性最小二乘问题的解。设x（k）是解的第k次近似，在x（k）处将f_i（x）线性化，这样原来的问题转变成为线性最小二乘问题。运用式（5.177）求出这个问题的极小点x（k+1），把它作为非线性最小二乘问题的第k+1次近似。再从x（k+1）出发，重复以上过程，直到收敛。具体过程如下：

式（5.178）右端是函数f_i（x）在点x（k）展开的一阶Taylor多项式。令

用ϕ（x）近似F（x），从而用ϕ（x）的极小值点作为目标函数F（x）的极小值点估计。现在求解线性最小二乘问题，有

这里记作

其中

所以ϕ（x）可以写成

按照前述方法可以得到

可以写成递归形式

把x（k+1）作为F（x）的极小值点的第k+1次近似。通常称式（5.186）为Gauss-Newton公式。矢量称作在点x（k）处Gauss-Newton方向。为保证每次迭代能使目标函数值下降，在求出d（k）后，不直接用x（k）+d（k）作为第k+1次近似，而是从x（k）出发，沿这个方向进行一维搜索，有

求出步长λ后，令

把x（k+1）作为第k+1次近似。以此类推，直至得到满足要求的解。

在最小二乘法中，有时出现矩阵A^T_kA_k奇异或接近奇异的情况，这时求（A^T_kA_k）^-1会遇到很大困难，甚至根本不能进行。因此，需要对最小二乘法做进一步的修正。所用的基本技巧就是把一个正定对角阵加到A^T_kA_k上，改变原矩阵的特征值结构，使其变成条件数较好的对称正定矩阵。LM优化算法是较为有效的修正的最小二乘法之一。