摄像机标定的透视变换法

2023-11-24 理论教育版权反馈

【摘要】：不考虑摄像机镜头的非线性畸变，那么从物体点的三维到图像点的二维变换是线性变换，透视变换中的系数为未知数。以上介绍了摄像机标定的透视变换法的计算过程，在用真实数据进行实验时，需要注意以下问题：1）矩阵M确定了空间点坐标与它的图像点坐标的关系。

不考虑摄像机镜头的非线性畸变，那么从物体点的三维到图像点的二维变换是线性变换，透视变换中的系数为未知数。如果给定足够多点的三维世界坐标及其相应的图像坐标，就可以利用线性变换矩阵中的各个元素，求得摄像机的参数，即先求透视变换矩阵，然后由求得的透视变换矩阵分解得到摄像机的内外参数。透视变换法的优点是不需非线性优化方程求解，运算速度较快，能够实现摄像机参数的实时计算。透视变换法的有以下缺点：

1）标定过程中不考虑镜头的非线性畸变，使得标定精度受到一定的影响。研究表明，在做三维测量时，忽略镜头畸变是不可取的。

2）线性方程组中未知参数的个数大于世界坐标系自由度的数目，未知数不是互相独立的。在图像含有噪声的情况下，解得线性方程中的未知数也许能够很好地符合这一线性方程，但由此分解得到的参数值却未必能与世界坐标系情况很好符合，使精度受到一定限制。

1.线性参数的最小二乘估计

（1）最小二乘法原理

当测量次数多于未知参数的数目时，即所得的误差方程式的数目多于未知数的数目，直接用一般代数方程的方法无法求解未知参数。最小二乘法则可以将误差方程转化为确定解得代数方程组（方程式的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个确定解得代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程或法方程。

线性参数的最小二乘法处理程序可归结为，首先根据具体问题列出误差方程式；再根据最小二乘准则和最小二乘原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到解的估计量。对于非线性参数，可先将其线性化，然后按上述线性参数的最小二乘法处理程序处理。因此，建立正规方程是待求参数最小二乘处理的基本环节。

线性参数方程的一般形式为（n>m）

其误差方程为

最小二乘估计就是求X_i的估计值，使得

即

下面讨论最小二乘法原理的矩阵形式。设列矢量为

有n×m阶矩阵

式中，a₁₁，a₂₁，…，a_nm为方程的n×m个系数；v₁，v₂，…，v_n为误差；，，…，为待求的估计量。则线性参数的误差方程为

即

最小二乘评价准则有

即

或

（2）正规方程

线性参数的误差方程式为

应满足的最小二乘条件式为

现求式（5.77）的估计量，，…，，可利用求极值的方法来满足式（5.77）的条件。为此，对误差二次方和求偏导数，并令其为零，有

即

同理

即

同理

即

注意到式（5.86）的二阶导数恒为正，有

由此可知，上面各方程求得的极值是最小值，满足最小二乘条件，因而也是所要求的估计量，最后把它写为

式（5.88）即为线性参数最小二乘处理算法的正规方程。这是一个m元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有惟一确定的解，由此可以解得欲求的估计量。因而它可表示为

即

这就是矩阵表示的正规方程，又因为

所以正规方程又可表示为

所以

2.摄像机标定的透视变换法(www.chuimin.cn)

将透视变换矩阵和成像模型写为

式中，[XYZ 1]^T是空间三维点的世界坐标矢量；[uv 1]^T为相应的图像坐标矢量；m_ij为透视变换矩阵M的元素。式（5.95）包含如下三个方程：

在三个方程中，用第三个方程分别去除第一个方程和第二个方程，整理消去z后，得到如下关于m_ij的线性方程，即

式（5.97）描述了三维世界坐标点矢量[XYZ 1]^T与相应图像点矢量[uv 1]^T之间的关系。如果已知三维世界坐标和相应图像坐标，将变换矩阵看作未知数，则共有12个未知数。对于每一个物体点，都有上述的两个方程。因此，取6个物体点，就可以得到12个方程，表示成矩阵形式为

其中

M矩阵乘以任何不为零的数，不影响（X，Y，Z）与（u，v）的关系，一般设m₃₄=1。标定时取样点数为n，则共有2n个方程，11个未知数，2n≥11，方程没有准确解，所以采用最小二乘估计求出11个参数。由最小二乘法可得

求出系数矩阵M后，可根据式（5.65），解得摄像机的内外参数。求矩阵M时，设m₃₄=1，所求距阵M与实际矩阵M相差一个m₃₄因子。因此有如下关系：

即

设a_x=f/S_x，a_y=f/S_y，为水平方向和垂直方向的尺度因子，则有

式中，M^T_i（i=1～3）为M矩阵的第i行的前3个元素组成的行矢量；m₁₄（i=1～3）为M矩阵第i行第4列元素；R^T_i（i=1～3）为旋转矩阵R的第i行；T_x，T_y，T_z分别为平移矢量T的三个分量。比较上式两边可知，m₃₄M₃=R₃，由于R₃是正交单位矩阵的第3行，且R₃=1（矢量的模），因此可以从m₃₄M₃=1求出

再由以下式子可得出R₃、u₀、v₀、a_x、a_y，有

式中，符号×表示矢量积运算符。由以上求出的参数可进一步求出以下参数：

下面介绍上述参数的具体计算过程。

（1）u₀，v₀的可得计算过程由式（5.102）

所以

即

由于R是单位正交矩阵，所以R^T₁R₃=0（正交矢量的数量积）。R^T₃R₃=1（模为1的矢量自身的数量积），则

即

同理可求得

（2）α_x，α_y的计算过程

由可得

因此解得

同理可求得

（3）R₁，R₂的计算过程

由可得

则

即

同理可求得

（4）T_x，T_y，T_z的计算过程

由式（5.102）可得

由可得到

同理可求得

综上所述，由空间6个以上的已知点及它们的图像点坐标就能够求出矩阵M，并求出全部内外参数。

以上介绍了摄像机标定的透视变换法的计算过程，在用真实数据进行实验时，需要注意以下问题：

1）矩阵M确定了空间点坐标与它的图像点坐标的关系。在许多应用场合，如立体视觉系统，计算矩阵M后，不必再分解出摄像机内外参数。也就是说，矩阵M本身代表了摄像机参数。但这些参数没有具体的物理意义，在有些文献资料中称为隐参数。一般情况下，投影变换矩阵确定后，不进行内外参数的分解，称为隐式标定。而在有些应用场合，如运动分析，则需要将矩阵M分解，从而求出摄像机的内外参数。相应的标定过程称为显式标定。

2）矩阵M由4个摄像机内部参数及R与T所确定。由矩阵R是正交单位矩阵可知，R和T的独立变量数为6，因此矩阵M由10个独立变量所确定。但矩阵M为3×4矩阵，有12个参数。由于在求矩阵M时m₃₄可指定为任意不为零的常数，故矩阵M由11个参数决定。可见这11个参数并非互相独立，存在着变量之间的约束关系。但由线性方法求解这些参数时，并没有考虑这些变量之间的约束关系，因此当数据有误差的情况下，计算结果是有误差的，而且误差在各参数间的分配也没有按它们之间的约束关系考虑。实验表明，用上述方法求解的矩阵M在分解内外参数时，有较大的误差。为此在用线性求解矩阵M时。需考虑变量之间的约束关系。

摄像机标定的透视变换法

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