通过直方图均衡化技术改善视觉测量的方法

2023-11-24 理论教育版权反馈

【摘要】：3）由于直方图是对具有相同灰度值的像素进行统计而得到的，因此一幅图像中各部分区域的直方图之和等于整个图像的直方图。常用的直方图变换方法有直方图均衡化方法与直方图规定化方法。均匀分布表明，图像的直方图是均匀的，图像对比度得到了增强。，L-1；图3.18 直方图均衡化示意图2）统计原始直方图各灰度级像素nk；3）用式Pr=nk/n，k=0，1，…

1.直方图

直方图是数字图像处理中的一个重要概念。所谓直方图是关于图像中灰度分布的函数，即将数字图像中的所有像素，按照灰度值的大小，统计每个灰度值的概率。对于数字图像所出现的概率值，其表达式为

式中，r_k为图像f（x，y）的第k级灰度值；n_k为f（x，y）中具有灰度值r_k的像素的个数；n为图像像素总数；L为灰度等级数，最常用的灰度等级数是256。

可见直方图提供了一幅图像所有灰度值的整体分布描述。通常直方图用二维图形表示，横坐标表示图像的灰度级，纵坐标代表每个灰度级的像素数占全图部像素数的百分比。这样，通过灰度直方图就可以对图像的某些整体特性进行描述。

图3.17所示为四个基本图像（亮、暗、低对比度与高对比度）及其对应的灰度直方图。从图中可以看出，暗图像由于拥有较多的低灰度值像素，因此它的直方图主要分布在低灰度区，而高灰度区的灰度分布函数值较小或为0；亮图像则拥有较多灰度值较高的像素，其直方图分布主要集中在高灰度区，低灰度区的灰度分布函数值较小或为0；低对比度的图像的直方图则主要集中在某个灰度区域内，其他区域内的像素数则较少；而高对比度的图像的直方图分布比较均匀，基本覆盖了所有的像素灰度级。

图3.17 四个基本图像（亮、暗、低对比度、高对比度图像）及其对应的灰度直方图

总之，图像的直方图包含了非常丰富的信息，是图像处理中的一种十分重要的分析工具。它具有如下三条性质：

1）直方图是一幅图像中各像素灰度出现频次的统计结果，它只反映图像中不同灰度值出现的次数，而不反映某一灰度所在的位置。也就是说，它只包含了该图像的某一灰度像素出现的概率，而忽略其所在的位置信息。

2）任意一幅图像，都有惟一确定的一幅直方图与之对应。但不同的图像可能有相同的直方图，即图像与直方图之间是多对一的映射关系。

3）由于直方图是对具有相同灰度值的像素进行统计而得到的，因此一幅图像中各部分区域的直方图之和等于整个图像的直方图。

直方图变换的关键也是寻找一个恰当的变换函数T（r），通过调整图像的直方图而达到调整图像对比度的目的。常用的直方图变换方法有直方图均衡化方法与直方图规定化方法。

2.直方图均衡化方法

直方图均衡化方法的基本思想是把原始的直方图变换成均匀分布的形式。增加了像素灰度值的动态范围，达到增强图像整体对比度的效果。

（1）灰度级及变换函数

假设变量r表示待增强图像的灰度级，r在[0，L-1]。为讨论问题方便，将r归一化到区间[0，1]，且r=0表示黑色及r=1表示白色。考虑一个连续函数T（r），对任意一个满足上述条件的r，进行如下变换：

s=T（r），0≤r≤1 （3.62）即对于每一个像素值r产生一个相应的灰度值s。上述变换函数T（r）需满足如下条件：A，T（r）在0≤r≤1中为单值且单调递增；B，当0≤r≤1时，0≤T（r）≤1。条件A要求T（r）为单值是为了保证反变换存在，单调条件则保持输出图像从黑到白顺序增加。变换函数不单调增加将导致至少有一部分亮度范围被颠倒，从而在输出图像中产生一些反转灰度级。条件B保证输出灰度级与输入有同样的范围。由s到r的反变换可以表示为

r=T^-1（s），0≤s≤1 （3.63）

（2）概率密度函数的关系

图像灰度级可以看作[0，1]区间的随机变量。随机变量可以采用概率密度函数（Proba-bility Density Function，PDF）描述。令P_r（r）和P_s（s）分别代表随机变量r和s的概率密度函数。

由概率理论可知，如果P_r（r）和T（r）已知，且T^-1（s）满足条件B，那么由T（r）变换后的随机变量s的概率密度函数P_s（s）为

即随机变量s的概率密度函数由输入图像的灰度级PDF和所选择的变换函数决定。

（3）累积分布函数

选择累积分布函数作为变换函数，即

式中，w为积分变量。式（3.65）为随机变量r的累积分布函数（Cumulative Distribution Func-tion，CDF）。累积分布函数的具有如下特点：①概率密度函数永远为正，函数积分是一个函数曲线下的面积，所以累积分布函数是单值单调增加，满足变换函数条件A；②区间[0，1]上变量的概率密度函数的积分也在区间[0，1]上，因此满足变换函数条件B。

因此，累积分布函数满足变换函数的条件，可以作为图像灰度变换的变换函数。

（4）P_s（s）分布

原图像灰度级变量r通过变换函数T（r），得到变换后的灰度级变量s，其概率密度函数为P_s（s）。由微积分原理，关于上限的定积分的导数就是该上限的积分值，即

将此结果代入式（3.64），取概率值为正，得到

（5）结论

因为P_s（s）是概率密度函数，所有s值上的积分等于1。区间[0，1]以外其值为0，式（3.67）中给出的P_s（s）形式为均匀概率密度函数。

可见，按照式（3.65）给出的变换函数得到一个随机变量s，其概率密度函数为均匀分布，与P_r（r）的形式无关。均匀分布表明，图像的直方图是均匀的，图像对比度得到了增强。

（6）离散图像操作

对于离散值，处理其概率与和，而不是概率密度函数与积分。一幅图像中灰度级r_k出现的概率近似为

式中，n为图像中像素的总和；n_k为灰度级为r_k的像素的个数；L为图像中可能的灰度级总数。式（3.65）中变换函数的离散形式为

通过式（3.69），将输入图像中灰度级为r_k的各像素映射到输出图像中灰度级为s_k的对应像素。

（7）直方图均衡化计算步骤

综上所述，直方图均衡化图像增强方法的实现步骤如下：

1）列出原始图像灰度级r_k，k=0，1，…，L-1；

图3.18 直方图均衡化示意图

2）统计原始直方图各灰度级像素n_k；

3）用式P_r（r_k）=n_k/n，k=0，1，…，L-1，0≤r_k≤1计算原始直方图；

4）计算累积分布函数，；

5）由于上面计算的s_k取值范围为0～1，而数字图像的灰度范围为[0，L-1]，因此需将归一化的灰度值恢复到数字图像原来的灰度范围。即进行取整操作，s_k=int[（L-1）s_k+0.5]（四舍五入）；

6）确定映射对应关系（r_k→s_k）；

7）统计新直方图各灰度级像素n_k；(www.chuimin.cn)

8）用P_s（s_k）=n_k/n计算新直方图。

如前所述，式（3.69）～式（3.75）给出的变换或映射称为直方图均衡化。直方图均衡化可以展开图像的直方图，使图像灰度级能跨越更大的范围。

图3.19 直方图均衡化

图3.19a所示为四幅图像，图3.19b所示是对这些图像进行直方图均衡化的结果。前三种结果显示了明显的改进效果。第四幅图像在视觉效果上没有明显改变，这是因为原图像的直方图本来就是比较均匀的。对于不同的原始图像，直方图均衡化后的视觉效果很相似，说明直方图均衡化是适应性较强的增强工具。

图3.20 直方图均衡实例图像的灰度

【例3.7】直方图均衡化计算。

以图3.20a给出的大小为4×4、灰度等级为8的图像来分析直方图均衡化方法的使用。

（1）列出图像的各个灰度级

0，1，2，3，4，5，6，7

（2）统计每个灰度级的像素个数

n₀=3，n₁=3，n₂=1，n₃=1，n₄=1，n₅=2，n₆=2，n₇=3

（3）计算直方图中的各项

（4）计算直方图的累积分布函数

（5）计算灰度均衡后的离散灰度值

可见，经过直方图均衡化后，仅需要1、3、4、5、6、7共6个灰度级。修正后每个灰度级对应的像素数和概率值也均已经发生了变化。其中，修正后图像各个灰度级的像素数分别为3、4、2、2、2和3。

均衡化后的直方图如图3.21b所示。原图直方图的灰度级主要集中在低灰度级和高灰度级。在均衡化后的图像中，中灰度级也得到了一定扩展。整个直方图显得比较均匀，但并非完全均匀，且灰度间隔被拉大。

图3.21 直方图均衡化示例

从理论上讲，直方图灰度均衡就是通过变换函数将原图的直方图调整为均匀的直方图。而实际上修正后的直方图并不是十分均衡，因为原图像中某些像素数比较少的灰度级可能会和与之相邻的像素数较多的灰度级归并到同一个灰度级上，从而造成灰度间隔的扩大。此外，由于不能将同一个灰度值的各个像素变换到不同灰度级，也导致直方图均衡化只能是近似均衡直方图，不能实现理想的水平直线均衡结果，并且致使某些图像细节消失。

【例3.8】直方图均衡化计算

以一幅64×64像素，8个灰度等级的图像为例，进行直方图均衡化计算，其各灰度级的概率分布见表3.1。具体计算过程如下：

表3.1 各灰度级对应的概率分布