视觉测量技术：频域低通滤波

2023-11-24 理论教育版权反馈

【摘要】：截止频率D0的确定是理想低通滤波器设计的关键。此时，式经过修正后可以表示为3.指数低通滤波器指数低通滤波器是图像处理中常用的一种滤波器。指数低通滤波器的截止频率设计方法与巴特沃思低通滤波器基本相同。图3.12d给出了典型的梯形低通滤波器传递函数的特性曲线。图3.12 低通滤波器的特性曲线从图3.12可以看出，在D0的尾部包含一部分高频分量，因此采用梯形低通滤波器的图像清晰度比采用理想低通滤波器的图像清晰度有所改善。

常用的频域滤波方法有低通滤波、高通滤波、带通和带阻滤波、同态滤波等方法。在傅里叶变换中，低频成分对应了图像中灰度值变化比较缓慢的区域，而高频成分则表征了图像中物体的边缘与随机噪声等信息。因此，在一幅给定的图像中，通过频域对一定范围内的高频分量进行衰减就能够达到去除噪声、平滑图像的目的。这种抑制图像中的高频分量、保留低频分量的图像平滑方法就是频域低通滤波方法。在频域低通滤波器设计中，常用的传递函数H（u，v）有如下几种。

1.理想低通滤波器（Ideal Low Pass Filter，ILPF）

最简单的低通滤波器是“截断”傅里叶变换中的高频成分，其传递函数H（u，v）的表达式为

式中，D₀为指定的非负数值（也称为截止频率）；D（u，v）为点（u，v）到频率平面原点的距离，即

如果图像的尺度为M×N，傅里叶变换具有相同的尺寸，如果图像信号在进行傅里叶变换过程中已经被中心化了，傅里叶变换的中心（频率矩形的中心）已经被移位到（u，v）=（M/2，N/2）处。此时，从点（u，v）到傅里叶变换中心的距离为

图3.10a所示为理想低通滤波器的特性曲线（径向横截面），在半径为D₀的圆内，所有频率分量都无损地通过滤波器；而在此半径的圆外，所有频率被完全截止掉。

需要说明的是，完整的理想低通滤波器变换函数应是图3.10a所示曲线绕着原点转360°而形成的圆柱形曲面。理想低通滤波器无法用硬件实现，但却很容易用计算机模拟。

截止频率D₀的确定是理想低通滤波器设计的关键。常用的截止频率确定方法是采用直接观察法和功率法。功率法通过计算保留频谱的功率百分比来确定滤波器的半径，即截止频率。基于功率法确定截止频率的基本步骤可以描述如下：

（1）首先计算整个图像所有频率的总功率P_T

将每个点（u，v）的功率谱成分相加，即可得到总的图像功率，其表达式为

式中，P（u，v）为图像的功率。

（2）根据确定的功率百分比确定截止频率。

假设傅里叶变换已经被中心化，根据式（3.47）计算不同半径r所包含的图像功率占总功率的百分比a。当a不小于指定的百分比时的半径，即是截止频率（u，v），有

对于一幅图像，一般情况下，a应该不低于95。如果a的值过低，低通滤波器得到的图像会比较模糊，细节不清。

2.巴特沃思（Butter Worth）低通滤波器

具有截止频率为D₀（距原点的距离）的n阶巴特沃思低通滤波器传递函数的表达式为

式中，D（u，v）可由式（3.44）或式（3.45）表示；D₀为截止频率；n为函数的阶数。(www.chuimin.cn)

巴特沃思低通滤波器传递函数的特性曲线如图3.11所示。不同于理想低通滤波器，巴特沃思传递函数在通过频率与抑制频率之间并没有明显截断，因此其滤波效果好于理想低通滤波器。对于具有平滑传递函数的滤波器，通常将H（u，v）下降到最大值的某一分数值的那个点，定位为截止频率。在实际应用中，下面两种定义的截止频率用得较广。