截止频率D0的确定是理想低通滤波器设计的关键。此时，式经过修正后可以表示为3.指数低通滤波器指数低通滤波器是图像处理中常用的一种滤波器。指数低通滤波器的截止频率设计方法与巴特沃思低通滤波器基本相同。图3.12d给出了典型的梯形低通滤波器传递函数的特性曲线。图3.12 低通滤波器的特性曲线从图3.12可以看出，在D0的尾部包含一部分高频分量，因此采用梯形低通滤波器的图像清晰度比采用理想低通滤波器的图像清晰度有所改善。......
2023-11-24
频域滤波的基本步骤及应用-视觉测量技术
【摘要】：空间域和频域之间最基本的联系是卷积计算。3）在频域中，计算滤波器函数H（u，v）和F（u，v）的点积G（u，v）。 二维离散傅里叶变换实例图3.10a所示为在尺寸为512×152像的黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形。
空间域和频域之间最基本的联系是卷积计算。滤波器作用于图像，用数学语言来描述，就是进行卷积运算。
设f（x，y）和h（x，y）为M×N的两个离散函数，两者的卷积用f（x，y）*h（x，y）表示，其表达式为
若F（u，v）和H（u，v）分别表示f（x，y）和h（x，y）的傅里叶变换，由卷积定理可知，空间域上的卷积对应其在频域上的点积，频域上的卷积对应其在空间域上的点积，即
式（3.40）和式（3.41）就构成了卷积定理。
根据卷积定理，在具体的滤波操作中，首先要将原图像f（x，y）和滤波器h（x，y）分别进行傅里叶变换得到F（u，v）和H（u，v），然后在频域中进行F（u，v）和H（u，v）的对应点积运算，即H（u，v）的第一个元素乘以F（u，v）的第一个元素，H（u，v）的第二个元素乘以F（u，v）的第二个元素，依此类推。最后将频域中滤波后的运算结果进行傅里叶反变换，即可得到滤波后的图像g（x，y），即
这里H（u，v）被称为传递函数或转移函数，它是频域滤波的关键。其设计的基本思路是，保留某些频率分量，限制或消除另一些频率分量。为了观察方便，通常在进行傅里叶变换前，将图像进行中心变换。此时频域滤波的主要步骤可以如下描述：
1）将原图像f（x，y）乘以（-1）x+y，得到图像f′（x，y），也就是
2）将f′（x，y）代入式（3.27），并进行傅里叶变换得到F（u，v）。(www.chuimin.cn)
3）在频域中，计算滤波器函数H（u，v）和F（u，v）的点积G（u，v）。
4）在频域中根据具体的应用对G（u，v）进行处理得到G′（u，v）。
5）将G′（u，v）代入式（3.28），并进行傅里叶反变换得到其空间域函数g′（x，y）。
6）用（-1）x+y乘以g′（x，y）得到频域滤波后的图像g（x，y）。
需要指出的是：当输入图像和滤波器函数为实函数时，反傅里叶变换的虚部应该为零。实际上，由于计算的舍入误差，反傅里叶变换一般有寄生的虚部成分，这些成分可以忽略不计。
【例3.6】 二维离散傅里叶变换实例
图3.10a所示为在尺寸为512×152像的黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形。如图3.10b所示，此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以（-1）x+y，从而可以使频域关于中心对称。注意两张图的位置、标志和轴的原点的对应关系。
从图3.10b可以看出，u方向谱的零点分割恰好是v方向零点分隔的两倍。这却相反地符合图像中1∶2的矩形尺寸比例。
图3.10 傅里叶频谱计算的示例
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