由式容易推导出傅里叶变换基矩阵如下：这里假设图像由N×N个元素组成。表5-14 阶傅里叶基本图像指数由式可得到傅里叶基本图像见表5-1。需要指出的是，傅里叶基本图像都是复图像。图5-34 阶傅里叶基本图像由图5-3可以看出，实部和虚部相位差是π/2，对于4阶傅里叶变换的空间单位频率是2π/4，即实部和虚部按隔行或隔列对准。......
2023-06-23
二维离散傅里叶变换的性质及应用
【摘要】：二维离散傅里叶变换有多种性质，这里仅介绍三种：可分离性、可计算性及移位性。图3.9 由2步一维离散傅里叶变换计算二维离散傅里叶变换移位性通常在二维离散傅里叶变换之前，将输入图像乘以（-1）x+y。它是二维离散傅里叶变换设置的M×N区域的中心。当在计算机中使用二维离散傅里叶变换时，总和的范围为（u=0，…
二维离散傅里叶变换有多种性质，这里仅介绍三种：可分离性、可计算性及移位性。
（1）可分离性
二维离散傅里叶变换为可分离变换，二维离散傅里叶变换可以写成如下形式：
（2）可计算性
由二维离散傅里叶变换的分离形式可知，一个二维离散傅里叶变换可由连续两次运用一维离散傅里叶变换实现。也就是说，二维离散傅里叶变换可写为
对每个x值，式（3.37）是一个一维离散傅里叶变换，所以F（x，v）可由沿f（x，y）的每一列求变换得到。在此基础上，对F（x，v）每一行求一维离散傅里叶变换即得到F（u，v）。该过程可用图3.9表示。(www.chuimin.cn)
图3.9 由2步一维离散傅里叶变换计算二维离散傅里叶变换
（3）移位性
通常在二维离散傅里叶变换之前，将输入图像乘以（-1）x+y。由于指数的性质，容易得到
式（3.38）说明f（x，y）（-1）x+y的二维离散傅里叶变换的原点，即F（0，0）被设置在u=M/2、v=N/2上。
换句话说，（-1）x+y乘以f（x，y）将F（u，v）的原点变换到频率坐标下为[M/2，N/2]。它是二维离散傅里叶变换设置的M×N区域的中心。将此频率域的范围指定为频率矩形，它从u=0到u=M-1，从v=0到v=N-1。为了确保移动后坐标为整数，要求M和N为偶数。当在计算机中使用二维离散傅里叶变换时，总和的范围为（u=0，…，M-1），（v=0，…，N-1）。实际的变换中心将为u=M/2+1，v=N/2+1。
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