给定平均曲率函数，证明Rn+1内Sn（1）闭超曲面的存在性

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：，xn＋1）是Rn＋1内单位球面Sn的位置向量场，u是Sn上一个光滑函数．在Rn＋1内引入一个超曲面M，其位置向量场这里eur是eur的缩写．显然M是一个微分同胚于Sn的闭超曲面．下面计算M的平均曲率．在Sn上，选择一个局部正交标架场e1，e2，…

1982年，丘成桐教授提出了一个非线性整体问题：是否存在n维球面Sn（1）到n＋1维欧氏空间Rn＋1内一个嵌入X：Sn（1）→Rn＋1，其平均曲率是Rn＋1中某个区域内给定的光滑函数H（［1］）？

1974年Bakelman和Kantor，1983年Treibergs和Wei先后得到了一个定理．本讲介绍Treibergs和Wei的文章（［2］）．

设r＝（x1，x2，…，xn＋1）是Rn＋1内单位球面Sn（1）的位置向量场，u是Sn（1）上一个光滑函数．在Rn＋1内引入一个超曲面M，其位置向量场

这里eur是eu（r）r的缩写．显然M是一个微分同胚于Sn（1）的闭超曲面．

下面计算M的平均曲率．

在Sn（1）上，选择一个局部正交标架场e1，e2，…，en，使得

这里下标i表示沿ei方向的协变导数．用〈，〉表示Rn＋1内向量的内积．在本讲，下标i，j，k，l，…∈｛1，2，…，n｝．

将公式（3．1．1）两端求导，有

M的度量张量

这里利用了

记在Rn＋1内，M的单位法向量为n，由于X1，X2，…，Xn组成M的切空间的基，因而在M的同一点处，有

利用公式（3．1．3），（3．1．6）及待定系数法，很容易由计算得到（可以相差一个符号）

这里 pagenumber_ebook=204,pagenumber_book=196 是M的联络，即

利用Weingarten公式，在Rn＋1内，沿单位法向量n的M的平均曲率函数H满足

这里矩阵（gij）是M的度量矩阵（gij）的逆矩阵．由计算可以得到

利用（3．1．7）两端乘以，再两端微分，可以得到

这里将第二个等式右端倒数第二大项中的下标j，k互换，与右端第二大项之和是零．另外，利用了Sn（1）上的Gauss公式rjk＝－δjkr．而ω1，ω2，…，ωn是e1，e2，…，en的对偶基．

将上式两端作用在ei上，有

再将上式两端与Xj作内积，利用公式（3．1．3），（3．1．5）和（3．1．6），有

将公式（3．1．9）和（3．1．12）代入公式（3．1．8），有

如果H（X）∈Ck，α（Rn＋1－｛0｝），这里正整数k≥1，α∈（0，1），能否找到一个同胚于Sn（1）的闭超曲面M，使得其平均曲率恰为函数H？这一问题可转化为给定函数H，寻找满足拟线性椭圆型方程（3．1．14）的Sn（1）上的整体解．

下面用标准的拟线性椭圆型方程的理论来解方程（3．1．14）．

∀v∈Ck，α（Sn（1）），∀t∈［0，1］，设Sn（1）上可微函数u满足

这里H（X）是Ck，α（Rn＋1－｛0｝）内一个给定函数．方程（3．1．15）对应的齐次方程是

由于Sn（1）紧致，有

由（3．1．18）和（3．1．20）可以知道，方程（3．1．16）的解u必是零函数．由椭圆型方程理论可以知道：∀v∈Ck，α（Sn（1）），∀t∈［0，1］，方程（3．1．15）总有一解u∈Ck＋1，α（Sn（1））（利用Fredholm二择一性质和正则性定理）．因此，能定义映射T：

T是Ck，α（Sn（1））×［0，1］到Ck，α（Sn（1））内的一个紧映射（即有界集的像的闭包紧）．

下面给出Leray-Schauder不动点定理（见［3］内第231页定理10．6）：设B是一个Banach空间，T是从B×［0，1］到B中的一个紧映射，满足∀x∈B，T（x，0）＝0，如果存在一个常数C*，使得对满足x＝T（x，t）的所有（x，t）∈B×［0，1］，都有‖x‖B≤C*，则由T1x＝T（x，1）给出的B到自身中的映射T1有一个不动点．应用这个不动点定理，如果能证明对于满足下述方程

的所有可微分解u（即u（r）），这里t∈［0，1］，都有

则方程（3．1．14）有一个可微分解（见［3］第十二章及单位分解定理）．

下面讲述

定理1　（Bakelman和Kantor，Treibergs和Wei）

假设函数H（X）∈Ck，α（Rn＋1－｛0｝），这里正整数k≥1，α∈（0，1），满足下述两个条件：

（1）存在两个正常数r1，r2，0＜r1≤1≤r2，当0＜|X|＜r1时，H（X）＞；当|X|＞r2时，H（X）＜；（2）对于满足r1≤ρ≤r2和|r|＝1的所有ρ，r，有［ρH（ρr）］≤0，那么，在Rn＋1内有一个同胚于Sn（1）的闭超曲面，其平均曲率由H（X）给出．

证明　从前面叙述可以知道，只要证明在定理条件（1）和（2）之下，对满足方程（3．1．22）的所有解u，这里t∈（0，1］，始终有不等式（3．1．23）（当t＝0时，由前面叙述知道，方程（3．1．22）只有零解）．实际上只要证明u是上、下有界的，以及是上有界的．

由于Sn（1）紧致，有一点x1∈Sn（1），使得

下面证明

用反证法，利用r2≥1，设

那么方程（3．1．22）的左端

由不等式（3．1．26）及定理1条件（1），有

方程（3．1．22）的右端

利用方程（3．1．22）可知，不等式（3．1．27）和（3．1．29）是一对矛盾．所以不等式（3．1．25）成立．

完全类似地利用定理条件（1），可以证明

因而函数u是上、下有界的．

下面估计．∀x∈Sn（1），令

这里C是一个待定的大于等于1的正常数，ψ是Sn（1）上的可微分函数．

连续微分，有

由于Sn（1）是紧致的，则ψ在某点x0∈Sn（1）上达到最大值．如果≤1，利用后面确定的正常数C，∀x∈Sn（1），有

利用不等式（3．1．30）和（3．1．34），有

由上式，有

下面考虑＞1的情况．下面的计算全部都在点x0进行，利用ψi（x0）＝0及公式（3．1．32），在点x0，有

将上式两端乘以ui，且关于i从1到n求和，在点x0，有

利用（3．1．37），在点x0，立即有

这里，第一个等式右端的第二大项与第六大项恰好抵消；第三大项与第四大项可合并．

在点x0，可选择e1，e2，…，en，使得

利用公式（3．1．37）和（3．1．42），在点x0，有

利用公式（3．1．38）和上式，在点x0，有

将公式（3．1．44）和（3．1．47）代入（3．1．41），在点x0，有

上式不等式右端的第一大项、第二大项与最后一项可合并．

由公式（3．1．46），可以得到

将公式（3．1．37）和（3．1．39）代入上式，在点x0，有

利用上式，移项后，在点x0，有

利用第2章第5讲公式（2．5．25），即Ricci恒等式，有(www.chuimin.cn)

这里Rjlij是Sn（1）上的曲率张量．

利用公式（3．1．51）和（3．1．52），在点x0，有

将上式代入不等式（3．1．48），并且在不等式两端乘以1＋，在点x0，有

这里C2是一个正常数，与t及函数u无关．

明显地，可以得到

于是定理1成立．

利用上述思想，可以解决一些类似的问题．下面举一例（［4］）．

在R4的单位球面S3（1）内，可以知道，Clifford环面

是S3（1）内一个极小曲面，这里及下面的S1（b）表示半径为b的圆周．M1，1在R4内的位置向量场可以写成

这里R4＝R2×R2，r是前一个R2⊂R4内S1（1）的位置向量场，ρ是第二个R2⊂R4内另一个S1（1）的位置向量场．〈，〉表示R4内两个向量的内积．

下面引入S3（1）内广义Clifford环面M，它的位置向量场

在S3（1）内的M显然同胚于M1，1，这里u是M1，1上的一个可微分函数．因为M1，1微分同胚于S1（1）×S1（1），因而u可看作S1（1）×S1（1）上的一个可微分函数，可以写

在R4内选择一个局部正交标架场｛e1，e2，e3，e4｝，使得限制于前一个R2，e1切于第一个S1（1），e3是这个S1（1）⊂R2的径向，e3＝r；限制于第二个R2⊂R4，e2切于另一个S1（1），e4是这个S1（1）的径向，e4＝ρ．ω1，ω2，ω3，ω4是对偶基．在M的一个固定点X（p）（p∈S1（1）×S1（1），向量的起点始终在原点，这里不区分向量与向量的终点），可选择局部坐标，使得

这里下标1，2依次表示S1（1）×S1（1）上切向量e1，e2的协变导数．在点X（p），利用公式（3．1．67）和（3．1．69），有

M的度量张量

在点X（p），M的度量张量矩阵的逆矩阵分量是

在S3（1）内，M的单位法向量n满足

由计算，在允许相差一个符号的前提下，

下面先计算M在点X（p）的平均曲率H，下文中上、下标A，B，C，D限值1，2．由H定义及Weingarten公式，有

由一个直接的计算，在点X（p），可以看到

这里利用了r11＝－r，ρ22＝－ρ，ω12＝0，r12＝0，ρ21＝0．那么，利用公式（3．1．70）和（3．1．76），有

利用公式（3．1．72）和（3．1．77），有

将公式（3．1．78）代入公式（3．1．75），有

因为点p是S1（1）×S1（1）上的一个任意点，公式（3．1．79）在整个S1（1）×S1（1）上成立．这里函数u实际上是u（r，ρ）．

记矩阵

那么，对任何X∈Q，一定能够写成

这里0＜S＜1．当X固定时，S是唯一确定的．在下文中，给定函数H（X）∈Ck，α（Q），这里k是一个正整数，α∈（0，1）．

类似定理1的证明，引入一个新的线性方程，∀v∈Ck，α（S1（1）×S1（1）），∀t∈［0，1］，

考虑S1（1）×S1（1）上对应的齐次方程

完全类似定理1的证明，在S1（1）×S1（1）上，方程（3．1．87）只有u是零函数这唯一解．利用椭圆型方程的两择性定理和正则性定理，能够看到∀v∈Ck，α（S1（1）×S1（1）），∀t∈［0，1］，方程（3．1．85）总有唯一解u∈Ck＋1，α（S1（1）×S1（1））．

完全类似定理1的证明，考虑一个映射T：Ck，α（S1（1）×S1（1））×［0，1］→Ck，α（S1（1）×S1（1））．T（v，t）＝u，这里u是线性椭圆型方程（3．1．85）的一个解．T是一个紧映射，并且∀v∈Ck，α（S1（1）×S1（1）），T（v，0）＝0（见方程（3．1．87））．由于S1（1）×S1（1）是一个紧流形，可以利用Leray-Schauder不动点定理和单位分割，如果存在一个常数C1，使得对于满足u＝T（u，t）的所有（u，t）∈Ck，α（S1（1）×S1（1））×［0，1］，都有