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球面内闭极小嵌入超曲面的Laplace算子特征值

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：，xn＋2）Rn＋2，这里＝1，由上式，有依此公式，当代著名的微分几何学家猜测Sn＋1内闭极小嵌入超曲面的Laplace算子的第一特征值本讲的两个定理是解决上述猜测的一个起点．参考文献［1］R．C．Reilly．Applications of the Hessian operator in a Riemannian manifold．Indiana Univ．Math．Jour．，Vol．26：459-472．［2］H．I．Choi and A．N．Wang．A first eigenvalue estimate for minimal hypersurfaces．Jour．Diff．Geom．，Vol．18：559-562．

设M是n＋1维单位球面Sn＋1（1）内一个闭极小嵌入超曲面，M分Sn＋1（1）为两个连通区域Ω1，Ω2，Ωi（i＝1，2）的边界∂Ωi＝M，在Ωi上考虑方程

下面固定下标i，这里Δ是Ωi⊂Sn＋1（1）上的Laplace算子．λ1（Ωi）是一个正常数，u是一个光滑的不恒等于零的函数．当λ1（Ωi）取最小的正常数时，称其为Ωi内满足Dirichlet条件的Laplace算子的第一特征值．u称为Ωi内的第一特征函数．

利用本章第1讲内的公式（2．1．24）—（2．1．30），限制于M，有

在Ωi上积分上式，利用Green公式（例如，利用本章第2讲的公式（2．2．40）），有

又利用Green公式（例如利用本章第2讲的公式（2．2．40）），有

上式最后一个等式是利用方程（2．6．1）．

利用（2．6．1）及上式，有

将公式（2．6．7）代入（2．6．5），有

在Ωi内，明显地，有

又利用

以及利用（2．6．9）于（2．6．8），有

由上式，有

这里下标i∈｛1，2｝．因此，有

定理7（Reilly）　设M是Sn＋1（1）内一个闭极小嵌入超曲面，M分Sn＋1（1）为两个连通区域Ω1，Ω2，则Ωi（i＝1，2）的满足Dirichlet条件的Laplace算子的第一特征值λ1（Ωi）≥n＋1．

本讲下面估计M的Laplace算子ΔM的第一特征值的下界．设λ1是M上Laplace算子ΔM的第一特征值，即满足下述方程的最小正数，

这里M上光滑的不恒等于零的函数f称为M上Laplace算子的第一特征函数．

由于M是闭流形，利用第1章第3讲内引理3，有

由（2．6．13）和（2．6．14），有

在Ω1内，考虑下述方程

利用椭圆型方程理论，方程（2．6．16）一定有唯一光滑解u．完全类似本章第1讲的公式（2．1．24）—（2．1．30），有

这里下标j，k，l∈｛1，2，…，n｝．

利用公式（2．6．16）和（2．6．17），有

从而可以得到

在Ω1上积分上式两端，有

（利用Green公式，这里en＋1是∂Ω1的单位外法向量）(www.chuimin.cn)

利用本章第2讲内公式（2．2．40）（Green公式），由于∂M是空集，有

由上式，利用公式（2．6．13），有

将公式（2．6．22）代入（2．6．20），有

利用公式（2．6．6）的第一个等式，以及方程（2．6．16）和（2．6．17）的第一个等式，有

将（2．6．24）代入（2．6．23），有

不妨设

由于∂Ω1＝M，如果

而沿∂Ω2＝M的单位外法向量是－en＋1，相应的第二基本形式分量是－hjk，因此，在假设（2．6．27）成立时，必有

因此，用Ω2代替上述Ω1，公式（2．6．13）开始的叙述一切都成立，而不等式（2．6．27）被不等式（2．6．28）代替．因而不等式（2．6．26）的假设是可行的．

利用（2．6．25）和（2．6．26），有

利用（2．6．24）和上式，有

因此，有

定理8（H．I．Choi and A．N．Wang）　设M是Sn＋1（1）内一个闭极小嵌入超曲面，则M的Laplace算子的第一特征值

编者的话

本讲的内容是根据Reilly文章中的一个定理（［1］）以及H．I．Choi和王霭农教授合作的文章（［2］）写成的．

设X是超曲面M⊂Sn＋1（1）⊂Rn＋2的位置向量场，由Gauss公式，有

这里en＋1是M在Sn＋1（1）内的单位法向量场，hij是沿en＋1的M的第二基本形式分量．利用上式，有

由于M是极小的，上式中H（平均曲率）恒等于零，于是有

记X＝（x1，x2，…，xn＋2）⊂Rn＋2，这里 pagenumber_ebook=201,pagenumber_book=193 ＝1，由上式，有

依此公式，当代著名的微分几何学家猜测Sn＋1（1）内闭极小嵌入超曲面的Laplace算子的第一特征值

本讲的两个定理是解决上述猜测的一个起点．

［1］R．C．Reilly．Applications of the Hessian operator in a Riemannian manifold．Indiana Univ．Math．Jour．，Vol．26（1977）：459-472．

［2］H．I．Choi and A．N．Wang．A first eigenvalue estimate for minimal hypersurfaces．Jour．Diff．Geom．，Vol．18（1983）：559-562．