Laplace算子第一特征值

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：，em，利用公式，由计算，可以看到同前面一样，这里下标j表示函数沿ej方向的协变导数．取正小数ε，令利用ε是正小数，以及0＜k≤1，有0≤aε＜1．利用公式，和，有由于M是闭流形，设F在M内某点x0达到最大值，则于是，利用，有在点x0，利用公式的第一式及，有上式两端乘以vj，且关于j也从1到m求和，在点x0，有利用公式的第二式、和，在点x0，有这里ω1，ω2，…，ωm是M上切向量e1，e2，…

设M是m维闭（紧致无边界连通可定向）Riemann流形，用Δ表示M上的Laplace算子，如果存在一个最小的正实数λ1，以及M上一个不恒等于零的光滑函数u，满足

则这个λ1称为M上Laplace算子的第一（正）特征值，u称为第一特征函数．由于M是闭流形，利用第1章内第3讲的引理3，有

这里dV是M上体积元素．由（2．5．2）的第二式可以知道，函数u有正有负．另外，由方程（2．5．1）可以看到，对于任一非零实数α，αu也是第一特征函数．因而可设

这里必要时可用－u代替u．

先证明一个引理．

引理1　如果M的Ricci曲率非负，则对于第一特征函数u，有

在M上选择局部正交标架场e1，e2，…，em，利用公式（2．5．4），由计算，可以看到

同前面一样，这里下标j表示函数沿ej方向的协变导数．取正小数ε，令

利用ε是正小数，以及0＜k≤1，有0≤aε＜1．

利用公式（2．5．6），（2．5．7）和（2．5．9），有

由于M是闭流形，设F（x）在M内某点x0达到最大值，则

于是，利用（2．5．14），有

在点x0，利用公式（2．5．15）的第一式及（2．5．16），有

上式两端乘以vj，且关于j也从1到m求和，在点x0，有

利用公式（2．5．15）的第二式、（2．5．16）和（2．5．17），在点x0，有

这里ω1，ω2，…，ωm是M上切向量e1，e2，…，em的对偶基，将公式（2．5．20）两端再外微分，有

上述公式称为Ricci恒等式．

注：为了降低阅读门槛，公式（2．5．20）—（2．5．25）是从最易懂的状态出发推导的，熟悉的读者可以略去部分或全部．

利用公式（2．5．22）和（2．5．25），可以看到

利用（2．5．14）和（2．5．33），以及F（x）在点x0取到最大值，有∀x∈M，

将上式两端乘以正数1－v2（x），有

利用公式（2．5．4），（2．5．5）和（2．5．9），有

利用aε∈［0，1），以及不等式（2．5．13），有

利用公式（2．5．11），有

利用公式（2．5．36），有

利用不等式（2．5．35），∀x∈M，有

利用公式（2．5．36），有

由不等式（2．5．41）和公式（2．5．42），有

这就是引理1的结论．

记

d称为M的直径．这里d（x，y）是M上两点x，y的距离．

定理5（P．Li和丘成桐）　设M是m维闭Riemann流形，且M的Ricci曲率非负，则M上Laplace算子的第一（正）特征值 pagenumber_ebook=185,pagenumber_book=177

证明　利用公式（2．5．3），由于M是闭流形，存在M上两点x1，x2，使得

用一条极小测地线L连接上述两点x1，x2，则沿这条测地线L，利用不等式（2．5．43），有

利用不等式（2．5．46），有

这里ds＞0．

由公式（2．5．48）和（2．5．49），有

将上式两端平方，有

利用公式（2．5．12），令

利用公式（2．5．12）和（2．5．52），有

于是，存在一个正小数δ，δ与ε有关，使得

利用公式（2．5．52），有

由（2．5．52）和上式，有

采用这种术语，利用公式（2．5．35），（2．5．37）和（2．5．57），有

利用不等式（2．5．51）可以看到，如果k＝1，则由（2．5．5），有

下面设0＜a＜1，即0＜k＜1，令

利用不等式（2．5．59）、公式（2．5．61）及aε＞0，有(www.chuimin.cn)

引理2　如果y（θ）是φ（θ）在θ0的闸函数，则

证明　利用（2．5．52），考虑函数

由公式（2．5．64）和（2．5．57），有

利用不等式（2．5．65）和上式可以知道，函数G（x）在x＝x0处达到最大值．

由于M是一个闭流形，则

利用闸函数定义中的y（θ0）≥－1，以及利用公式（2．5．57）和（2．5．61），有

利用公式（2．5．55）的第一式，有

利用公式（2．5．10）和上式，有

由上式，再利用公式（2．5．52）和（2．5．54），有

将公式（2．5．64）两端微分，有

利用（2．5．69）的第一式及上式，在点x0，有

利用（2．5．69）的第二式及（2．5．74），在点x0，又有

这里θ＝θ0（利用（2．5．66）的第一式）．

利用Cauchy不等式，在点x0，有

利用公式（2．5．55）的第二式和上式，又利用＞0及cosθ＞0，在点x0，有

利用（2．5．26），（2．5．55），（2．5．73）和（2．5．78）于不等式（2．5．76），在点x0，有

这里利用公式（2．5．70），在点x0，可以看到

将公式（2．5．79）右端第一大项展开式中第二项的平方、右端第二大项、右端第三大项后一乘项中的第二大项、右端最后一大项中第一项合并运算，可以看到在点x0，有

上式右端第一项、第六项、第九项与第十二项的代数和恰为零．上式右端第二项、第五项与第十一项的代数和也是零．上式右端第三项、第七项和倒数第二项的代数和为－πsinθ．上式右端第四项、第十项可合并．上式右端第八项与最一项也可合并．

由于cos2θ＞0，则引理3中的等式成立．至此，引理3的全部结论成立．

下面建立一个定理．

定理6（钟家庆和杨洪苍）　设M是无边界的紧致连通可定向的m维Riemann流形，且M的Ricci曲率非负，则M的Laplace算子的第一特征值λ1 pagenumber_ebook=194,pagenumber_book=186 ，这里d是M的直径．

证明　先证明

这里φ（θ）在公式（2．5．61）中确定，ψ（θ）在引理3中确定．

对不等式（2．5．102）用反证法，设此不等式不成立，则必存在θ0∈ pagenumber_ebook=194,pagenumber_book=186 ，使得

因此，当时，由上式，有

－1＜ψ（θ0）＋b＝φ（θ0）（利用不等式（2．5．99）知此不等式成立），

因此，ψ（θ）＋b是φ（θ）在θ0处的闸函数．利用引理2，应当有

不等式（2．5．105）与公式（2．5．104）的第二式是一对矛盾．因此不等式（2．5．102）成立．

利用公式（2．5．61）和（2．5．102），并注意到（2．5．11）中0≤aε＜1，有

利用公式（2．5．57）和上式，有

由于M紧致，在M上存在x1，x2两点，使得

用一条极小测地线γ连接x1，x2两点，用s表示这条测地线的弧长参数，明显地，沿这条测地线，有

利用不等式（2．5．107）和（2．5．109），沿γ，有

这里ds＞0．由于d是M的直径，则

这里L（γ）表示γ的长度．利用上式，有

令θ*＝－θ，利用公式（2．5．97），有

利用公式（2．5．112）和（2．5．113）（将θ*改为θ），有

当实数x满足|x|＜1时，显然有

将（2．5．115）代入（2．5．114），有

现在令ε→0，利用公式（2．5．53）和（2．5．54），伴随有δ→0，再由不等式（2．5．116），有

编者的话

本讲内容取自丘成桐和R．Schoen合著的《微分几何讲义》（第二版）第三章第109页至第117页（［1］），当然，编者也查阅了钟、杨两位教授合作发表的文章（［2］）．算子特征值的下界估计是一个大的方向，有许多文献，有兴趣的读者可以去查阅相关文章及书籍．

参考文献

［1］丘成桐，孙理察．微分几何讲义．高等教育出版社，2004．

［2］钟家庆，杨洪苍．On the estimate of the first eigenvalue of a compact Riemannian manifold．中国科学（英文版），Vol．27（1984）：1265-1275．

Laplace算子第一特征值

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