欧氏空间常平均曲率嵌入的闭超曲面，证明是球面

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：，en＋1，限制于N，en＋1是N的单位外法向量，ω1，ω2，…，xn＋1的二次函数，即这里aB和b都是实常数，x1，x2，…，xn＋1是Rn＋1内直角坐标系的坐标．由方程的边界条件，公式限制在M上，有这恰说明闭超曲面M是Rn＋1内n维球面．下面讲述另一个著名的定理．设M是n＋1维欧氏空间Rn＋1内一个n维嵌入超曲面．由第1章第6讲公式，可以知道这里R是M的数量曲率，平均曲率由定义．由第1章第7讲公式

在本讲，先讲述两个引理．

引理1　Rn＋1内嵌入闭超曲面M至少有一个椭圆点，即在这点的所有截面曲率Rjiij＞0，这里i≠j，1≤i，j≤n．

证明　取Rn＋1的原点在闭超曲面M所围区域的内部，令函数

这里X（x）是M上点x在Rn＋1内的位置向量．由于M是紧致的，必有一点x0∈M，使得f（x）在x＝x0处达到最大值．于是，有

利用公式（2．1．1）和（2．1．2）的第一式，有

由公式（2．1．4）可以看到，X（x0）恰好是超曲面M在点x0的法向量．由于

这里en＋1是M在Rn＋1内的单位外法向量．上式两端在点x0取值，再利用公式（2．1．4），有

将公式（2．1．3）两端再微分一次，并且在点x0取值．利用公式（2．1．2）的第二式，有

因为（ωk（x0））2＞0，且由公式（2．1．1）可以知道，点x0是M上离原点O的最远点，所以点x0不会是原点．利用公式（2．1．4）可以知道向量X（x0）平行于en＋1（x0），由于原点在闭超曲面M所围区域内部，en＋1（x0）是M在点x0的单位外法向量，则en＋1（x0）与X（x0）两向量同方向．于是，有

由公式（2．1．7）和（2．1．8），有

所以点x0是椭圆点．

设N是m维紧致可定向连通Riemann流形，具有光滑边界∂N，设n是定义在∂N的单位外法向量．同以前类似，记ω1，…，ωm是N的局部定向正交标架场e1，…，em的对偶标架场．对N上任意m个光滑切向量场X，Y1，Y2，…，Ym－1，定义（见［1］第197页）

i（X）称为对X作内乘．

对于N上任意光滑切向量场X，定义

div X称为X的散度，这里dV＝ω1∧ω2∧…∧ωm是N的体积元素．

引理2　设N是m维紧致可定向连通Riemann流形，具有光滑边界∂N，设n是定义在∂N上的单位外法向量，则对于N上任意光滑切向量场X，

这里dA是∂N的体积元素，〈，〉表示N的Riemann内积．

注：dA也称为∂N的面积元素，以表示与dV的名称区别．

证明　在∂N的任意一点x处，选取N的定向单位正交标架（又称正交基）e1，e2，…，em，使得n＝e1，下面ω1，ω2，…，ωm是e1，e2，…，em的对偶基．于是，有

这是因为e2（x），e3（x），…，em（x）是∂N在点x的切空间的定向正交标架．

利用公式（2．1．13），对于∂N内任意一点x，有

利用上式可知，引理2的结论成立．

特别当N是Rm内某个区域时，设f是N上一个光滑函数，f的梯度gradf是N上一个光滑切向量场．定义如下：对于N上任意光滑切向量场Y，

这里〈，〉是Rm的内积．设x1，x2，…，xm是Rm内直角坐标系的坐标．取Y＝，这里A＝1，2，…，m．由上式，有

于是，有

这里fn表示f沿∂N的单位外法向量n的方向导数．

设N是一个n＋1维紧致连通可定向Riemann流形，具有光滑边界∂N，∂N是一个n维紧致连通无边界可定向Riemann流形．设F是N上一个光滑函数，记F在∂N上的限制为f，f是∂N上的一个光滑函数．

设N的局部正交标架场是e1，e2，…，en＋1，限制于∂N，en＋1是∂N的单位外法向量，ω1，ω2，…，ωn＋1是对偶基，限制于∂N，有

利用dF|∂N＝df，有

记F沿en＋1的方向导数为Fn＋1，又记

g是∂N上一个光滑函数．

利用dFj|∂N＝dfj，兼顾（2．1．24），限制于∂N，有

公式（2．1．26）的两端在∂N上求导，有

有了以上这些准备工作后，可以来证明下述著名定理了．

定理1（Alexsandrov）　设M是n＋1维欧氏空间Rn＋1内嵌入闭超曲面，如果M的平均曲率是常数，则M是一个n维球面．

证明　由于M是Rn＋1内嵌入闭超曲面，利用引理1，M上必至少有一个椭圆点．设en＋1是M的单位外法向量，在M上，沿－en＋1的平均曲率H（常数）必是一个正常数．

类似前述，用Δ*表示Rn＋1内的Laplace算子，用Δ表示M的Laplace算子．考虑下列Poisson方程的Dirichlet问题：

Δ*F＝1，在M所包围的Rn＋1的紧致区域N内；

根据椭圆型偏微分方程理论，方程（2．1．31）有唯一光滑解F．利用公式（2．1．26），（2．1．28）和（2．1．31）的第二式，有

这里hjk是M沿en＋1的第二基本形式分量．可以知道

这里利用了公式（2．1．10），H是沿－en＋1的平均曲率．

由于

这里利用了公式（2．1．32）和（2．1．33），利用（2．1．31）和（2．1．34），有

将上式两边同乘以g，并在M上积分，有

这里利用了（2．1．31），V（N）表示N的体积．

下面估计公式（2．1．36）的左端．对第一项利用Schwarz不等式，有

这里A（M）是M的面积．

由于常数H＞0，有

用X表示Rn＋1内N的位置向量场，即X＝（x1，x2，…，xn＋1），用〈，〉表示Rn＋1的内积．

明显地，有

上式两端在N上积分，利用Green公式（2．1．23），有

这里利用了公式（2．1．40）后面的叙述，可以知道Xj＝ej．

由于M是闭超曲面，可以知道

利用公式（2．1．42）—（2．1．44），有

利用公式（2．1．40）和（2．1．45），有

将公式（2．1．46）代入公式（2．1．38），有

现在来估计公式（2．1．36）左端的第二大项．记

上式左端恰是V（N），应等于上式右端．因此，前述一切不等式都应取等号．由于公式（2．1．51）的各步骤都应取等号，应当有

这里最后一个等式是利用方程（2．1．31）．

由于区域N在Rn＋1内，公式（2．1．54）中求导都是普通求导．利用公式（2．1．54），立即可以知道N内F是x1，x2，…，xn＋1的二次函数，即(www.chuimin.cn)

这里aB（a≤B≤n＋1）和b都是实常数，x1，x2，…，xn＋1是Rn＋1内直角坐标系的坐标．

由方程（2．1．31）的边界条件，公式（2．1．55）限制在M上，有

这恰说明闭超曲面M是Rn＋1内n维球面．

下面讲述另一个著名的定理．

设M是n＋1维欧氏空间Rn＋1内一个n维嵌入超曲面．由第1章第6讲公式（1．6．4），可以知道

这里R是M的数量曲率，平均曲率由（2．1．33）定义．

由第1章第7讲公式（1．7．46）及上式，有

在M上定义一个n－1次光滑的微分形式

这里X是Rn＋1内M的位置向量场；

*称为M上的Hodge算子．类似第1章第3讲引理3的证明，ω是M上整体定义的n－1次光滑的微分形式．

将上式右端第二大项的下标i与l互换，与第五大项之和是零．将上式右端第七大项的下标k换成j，j换成l，与第三大项之和是零．将上式右端倒数第一大项的下标k换成j，j换成l，与倒数第三大项之和是零．利用本讲公式（2．1．33），上式右端第一大项与倒数第五大项之和是零．又利用〈Xi，Xj〉＝〈ei，ej〉＝δij，以及公式（2．1．33），知上式右端第六大项等于－nH dA．

利用Rn＋1内超曲面的Gauss公式、Xij＝hij en＋1及公式（2．1．33），公式（2．1．61）可以改写为

在M上积分上式，由于M是闭流形，利用Stokes公式，上式左端在M上积分是零．于是，可以得到

现在证明

定理2（Ros）　球面是n＋1维欧氏空间Rn＋1内具有常数量曲率的唯一n维嵌入闭超曲面．

证明　利用本讲引理1，Rn＋1内n维嵌入闭超曲面M至少有一个椭圆点．在这点上，i≠j时，Rjiij＞0，于是在这点的数量曲率R＝由定理2条件可以知道，数量曲率R是一个正常数，由于en＋1是Rn＋1内M的单位外法向量，则矩阵（－hij）在这个椭圆点上是正定对称实矩阵（见引理1的证明）．于是，由公式（2．1．33），在这点沿单位内法向量－en＋1的平均曲率H＞0．由于R是一个正常数，则在M上处处有R＋S＞0，再利用公式（2．1．57）可以知道，平均曲率函数H不会变号（否则利用H的连续性，M上至少有一点，H值是零，这与公式（2．1．57）矛盾）．因而在M上，函数H处处大于零．