微分几何十六讲：子流形的基本方程

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：，en＋p，即这里KABCD是N的曲率张量．本讲下标A，B，C，D，E，…，n＋p｝．可以知道定义曲率KBACD关于方向eE的协变导数KBACD，E如下：如果所有的KBACD，E都等于零，则Riemann流形N称为局部对称的Riemann流形．当时，这里C*是一个实常数，称N是具有常曲率C*的空间．请读者自己证明常曲率空间是局部对称的Riemann流形．在N内，选择一个局部正交标架场e1，e2，…，en，en＋1，…，en＋p，使得限制于M，向量e1，e2，…，n｝，α∈｛n＋1，…

设M和N依次是n维和n＋p维的Riemann流形．又设f：M→N是（局部）等距浸入（或等距嵌入），在局部范围内等距浸入可看作等距嵌入．设（U，φ）是M的一个坐标图，设在U上，f是单射（即1—1的），那么开集U和对应像集f（U）往往不区分．即对于U内任一点P，也用同一字母P表示点f（P）∈f（U）．下面用〈，〉表示N的Riemann内积．设x1，x2，…，xn＋p是N内含点P的坐标图（U，φ）的局部坐标．取这坐标图的局部C∞正交标架场e1，e2，…，en＋p，即

这里KABCD是N的曲率张量．本讲下标A，B，C，D，E，…∈｛1，2，…，n＋p｝．可以知道

定义曲率KBACD关于方向eE的协变导数KBACD，E如下：

如果所有的KBACD，E都等于零，则Riemann流形N称为局部对称的Riemann流形．当

时，这里C是一个实常数，称N是具有常曲率C的空间．请读者自己证明常曲率空间是局部对称的Riemann流形．

在N内，选择一个局部正交标架场e1，e2，…，en，en＋1，…，en＋p，使得限制于M，向量e1，e2，…，en切于M，那么，en＋1，…，en＋p垂直于M．下述下标i，j，k，l，…∈｛1，2，…，n｝．

限制ωA，ωAB于M，首先有

由Frobenius定理，由于子流形M（即f（M））的存在，dωα＝0是ωα＝0的代数推论（n＋1≤α≤n＋p），限制于M，利用（1．1．6）第一式及（1．1．11），有

限制于M，记

将（1．1．13）代入（1．1．12），有

在上式右端第二项中，交换下标j与k，有

由于ωj∧ωk（1≤j＜k≤n）是M上C∞的2形式的基，由（1．1．15），在M上，有

pagenumber_ebook=11,pagenumber_book=3 称为N内子流形M沿单位法向量eα的第二基本形式分量．

由上面叙述知，限制于M，有

在上式第二个等式右端第二大项中，交换下标k，l，等于第三个等式右端第二大项．

令

将（1．1．19）代入（1．1．18）有

公式（1．1．19）称为在局部正交标架下，Riemann流形N内等距浸入子流形M的Gauss方程组，（1．1．20）同时也称为Gauss方程组．

利用（1．1．7），又有

限制上式于M，利用（1．1．11），（1．1．13）和（1．1．16），有

公式（1．1．23）称为Riemann流形N内等距浸入子流形M的Ricci方程组，（1．1．24）也同时称为Ricci方程组．

S称为Riemann流形N内等距浸入子流形M的第二基本形式长度平方．

令

法向量H称为Riemann流形N内等距浸入子流形M的平均曲率向量．一个等距浸入称为极小的，如果H始终是零向量，即对所有α，在M上，有

向量H的长度称为M的平均曲率．

对（1．1．13）的第一式两端外微分，在M上，有

利用（1．1．7）和（1．1．11），在M上，有

由（1．1．17）第一式及（1．1．28），有

观察（1．1．30）右端第二大项与（1．1．31）右端第四大项，将这第四大项的下标i改为l，可以看到这两项是相等的．观察（1．1．30）右端第一大项，将下标k换成l，l换成i，这一项等于（1．1．31）右端第二大项．在（1．1．31）右端最后一大项中将下标i，l互换，它与（1．1．31）右端第三大项之和恰为零．从（1．1．29），（1．1．30），（1．1．31）及上面的叙述，有

公式（1．1．33）称为Riemann流形N内等距浸入子流形M的Codazzi方程组．

特别地，当N是常曲率C的空间时，利用（1．1．10），有Kjαil＝0（注意i，j，l∈｛1，2，…，n｝，α∈｛n＋1，…，n＋p｝），从而（1．1．33）简化为

对（1．1．28）两端外微分，有

利用（1．1．17）第一式，（1．1．20），（1．1．24），（1．1．28），（1．1．35）和（1．1．36），有

上式左端第三大项与上式右端第一大项相等，将上式右端第五大项中的下标k与l互换，与上式右端第二大项之和为零．将上式右端第九大项中的下标k，l互换，与上式右端第三大项之和为零．将上式右端倒数第四大项中的下标k与l互换，与上式右端第四大项之和为零．上式左端第二大项与上式右端第七大项相等．将上式左端最后一大项中的下标k与l互换，与上式左端第四大项之和为零．上式左端第五大项与上式右端倒数第六大项相等．将上式右端第十一大项中的下标k与l互换，与上式右端第八大项之和为零．将上式右端倒数第五大项中的下标k换成l，与上式右端第十大项之和为零．将上式右端倒数第二大项中的下标β与γ互换，与上式右端倒数第三大项之和为零．

于是，化简（1．1．37），有(https://www.chuimin.cn)

将上式右端第一大项中下标s，l互换，第二大项中下标s，l也互换，那么由下标反称化后，有

上述公式称为Ricci公式．

限制在M上，定义

对公式（1．1．33）两端微分，并且利用（1．1．36），有

利用（1．1．33），可以看到（1．1．41）与（1．1．42）的左端应相等，于是（1．1．41）和（1．1．42）的两右端也应相等．（1．1．42）右端第二大项与第七大项之和恰等于（1．1．41）第二大项．（1．1．42）右端第三大项与（1．1．42）右端倒数第二大项之和恰等于（1．1．41）右端第四大项．（1．1．42）右端第四大项与（1．1．42）右端倒数第三大项之和恰等于（1．1．41）右端第三大项．（1．1．42）右端第五大项与（1．1．42）右端倒数第一大项之和恰等于（1．1．41）右端倒数第一大项．因而，利用ω1，ω2，…，ωn是对偶基，可以得到

这里后一个等式是利用（1．1．43）．

当N是局部对称空间时，由（1．1．9），有

（1．1．41）左端和（1．1．45）左端相同，因而（1．1．41）右端与（1．1．45）右端应相等．（1．1．41）右端第二大项恰等于（1．1．45）右端第一大项下标E从1到n的部分和．（1．1．41）右端第三大项恰等于（1．1．45）右端倒数第二大项下标E从1到n的部分和．（1．1．41）右端第四大项恰等于（1．1．45）右端倒数第一大项下标E从1到n的部分和．（1．1．41）右端倒数第一大项恰等于（1．1．45）右端第二大项下标E从n＋1到n＋p的部分和．

于是，可以得到

由上式，利用ω1，ω2，…，ωn是对偶基，有

利用（1．1．44）和（1．1．47），有

上式右端倒数第六大项与倒数第三大项相等．上式右端第七大项与倒数第二大项相等．上式右端第八大项与倒数第四大项相等．因此，初步化简上式，可以看到

利用上式，可以看到

应用（1．1．54），（1．1．51）的右端第八大项可化简：

编者的话

这一讲内容的基本材料来自陈省身先生文集中的一篇文章的开始部分．这篇文章的作者是S．S．Chern，M．Do．Carmo和S．Kobayashi三人，文章题目是Minimal Submanifolds of a Sphere with SecondFundamental Form of Constant Length．

在公式（1．1．25）和（1．1．26）中，引入了等距浸入子流形的第二基本形式长度平方S和平均曲率向量H，下面证明这两个量与局部正交标架选择无关．

当局部正交标架变换时，设

设矩阵（ pagenumber_ebook=19,pagenumber_book=11 ）是正交（函数）矩阵（akl）的逆矩阵，矩阵（）是正交（函数）矩阵（aαβ）的逆矩阵．于是，有