生日问题分析与解决：365人中生日相同概率已超过50%

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：②不考虑双胞胎乃至多胞胎的现象。④参加研究的人数不能超过365,否则事件将成为必然事件。100 分别带入上式,可得表3.22.1 中的数值。表3.22.1n 个人中至少两人生日相同的概率易见:在23 人中,至少有两人生日相同的概率已超过50%;在50 人中,至少有两人生日相同的概率可达97%。为使该问题更为直观,可根据表3.22.1 中的数据,利用Matlab 程序,画出生日问题的图像。

(1)模拟实验

将生日问题看作等概率的事件,则生日问题可看作有放回的随机抽取小球的试验,可以根据有放回抽球的试验特点,设置一个随机试验。

【试验前提】

①准备两组小球,一组为12 只完全相同的白球,二组为31 只完全相同的红球,分别代表12 个月份和每个月的31 日(或30 日、28 日),随机从一组与二组中各抽取一个小球,即记做一次模拟生日。

②若在实验过程中所抽取到的月份没有31 日,那么,抽取到31 日作废(若为2 月份,那么抽取到29 日、30 日、31 日均作废)。

【试验步骤】

①由随机抽取的试验者进行抽取,分别从一组和二组随机抽取一个小球,做记录。

②把所抽取的小球放回,进行下一次试验,依然进行同样的抽取。

③将此试验重复50 次,这样我们就可以得到50 位被测者的模拟生日,检查上面的50 个模拟生日,观察是否有相同的。

【结果分析】

分析50 个人中有两个人生日相同的概率(实际上该问题的理论概率约为97%)。当试验次数很大时,一个事件发生的频率会稳定在相应的概率附近,因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

事实上,还可用计算机产生的随机数进行模拟试验,从1 ～365 个数字中进行随机抽取,重复多次,也可得到试验结果。