音乐的几何结构：数学家通过几何音乐理论发现

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：研究发现,音乐也具有令人惊讶的几何结构。美国学者以“音乐天体理论”为基础,利用数学模型设计出了一种新的方式,对音乐进行分析归类,提出了所谓“几何音乐理论”,把音乐语言转换成几何图形。他们把音符元素,像“和音”“旋律”等进行分类,相同的类型归为“同类家族”,同类家族元素再用复杂的几何结构来表示。研究者宣称,音乐的空间形式是清晰的,这种几何学的空间形式将帮助人们更好地理解音乐。

研究发现,音乐也具有令人惊讶的几何结构。

中世纪时就出现过所谓“音乐天体理论”。当时人们认为,每个天体包括太阳、月亮、行星等的运动,皆可看作是音乐的一个元素,虽然人类无法听见,但人类和它们和谐地相互依存着。

美国学者以“音乐天体理论”为基础,利用数学模型设计出了一种新的方式,对音乐进行分析归类,提出了所谓“几何音乐理论”,把音乐语言转换成几何图形。他们把音符元素,像“和音”“旋律”等进行分类,相同的类型归为“同类家族”,同类家族元素再用复杂的几何结构来表示。不同类型的分类,产生不同的几何空间。这是一种全新的量化音乐的方法,该方法可分析和比较多种西方音乐(或一些非西方音乐)。

研究者宣称,音乐的空间形式是清晰的,这种几何学的空间形式将帮助人们更好地理解音乐。依靠这种看得见的音乐空间结构,可创造出新的音乐手法和手段,可用直观的理念来改进传统的音乐授课方式。用数学模型来分析音乐也为不同音乐风格之间的融合提供了一种可能性。

据说俄裔法国画家康丁斯基(Василий Кандинский,1866—1944)具有联觉能力,他可清晰地听见色彩,描画音乐,甚至把自己的绘画命名为“即兴”和“结构”,仿佛它们不是绘画而是音乐作品。他在绘画作品中应用各种几何元素来表达音乐和其他抽象概念,美术、几何和音乐几乎达到完美融合。其1923 年的CompositionⅧ和1939 年的Composition X 美术作品,意即“第八乐章”和“第十乐章”。(www.chuimin.cn)

黄金分割点常被应用于音乐。二胡的千斤放在0.618位置上发出的音最为优美,《义勇军进行曲》的转折点是在黄金分割点附近。欧洲伟大古典主义音乐家莫扎特(W.A.Mozart,1756—1791)大量应用黄金分割,例如其《D 大调奏鸣曲》第一乐章全长160 小节,再现部位于第99 小节,恰恰落在黄金分割点上。莫扎特非常喜欢数学,他常常在乐稿边缘写下数学公式。

能与一个音发生共鸣的空气柱长度为该音波长的1/2、1/4、1、2 等倍。低音乐器发音低,声波长,所以要求共鸣箱有较大体积;高音乐器则反之,发音高,声波短,所以共鸣箱需较小体积。由于一件乐器可以发出多个乐音,所以要求其形状复杂,以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱,满足不同乐音共鸣的需要。如中央C 音频率为261.63赫兹,波长1.3 米,波长的1/4 是0.325 米,为保证该音共鸣,共鸣箱的内空至少要有一个方位为0.325 米(或其2、4、8 等倍数)。音越低,波长越大,跨越障碍的本领也越强,再加上其频率低,能量损耗小,所以低音能够传得远。

乐器之王——钢琴的键盘,其琴键的音程恰好与斐波那契数列有关。在钢琴的键盘上,从一个C 键到下一个C 键就是音乐中的一个八度音程,其中共包括13 个键,分别是8 个白键和5 个黑键,而5 个黑键分成2 组,一组有2 个黑键,一组有3 个黑键。 2、3、5、8、13 恰好就是斐波那契数列中的前几个数。

“判天地之美,析万物之理。”数学和音乐常常以某种形式的默契向人们昭示世界的对称、宇宙的神秘与大自然的魅力。揭示数学和音乐之间的联系,用数学和音乐来诠释世界,让人类思想的智慧之光照彻寰宇,这是多么动人而玄妙的旋律!

音乐的几何结构：数学家通过几何音乐理论发现

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