傅里叶数学：音乐的数学分析与表达

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：傅里叶所建立的“声音数学分析”代表了用数学方法研究音乐理论的最高成就,证得所有乐声都是简单的正弦函数之和。利用声音的三个性质即音高、音量和音质,可与其它乐声区分,而声音的这三个性质可用数学图形清楚表示。音高与曲线的频率有关,音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关。音乐是以数学的形式记录和书写的,可否用数学形式来表达而重放音乐呢?

从毕达哥拉斯时代至今,数学家和音乐家都试图搞清音乐声音的本质,音阶体系、和声学理论和旋律配合法等都得到详细研究,建立了较为完备的体系。

欧几里得研究了谐音配合,制定过音阶;笛卡儿著有《音乐概论》;开普勒在音乐与行星运动之间寻找对应关系;丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700—1782)在对弦乐器的研究中得到二阶常微分方程;欧拉对铃声的研究导出了一个复杂的四阶偏微分方程;拉格朗日研究过长笛、风琴等。

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图3.20.2　丹尼尔·伯努利

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图3.20.3　梅森

法国数学家梅森(Marin Mersenne,1588—1648)总结出弦振动的4 条基本规律:

①弦振动的频率与弦长成反比,即对密度、粗细、张力都不变的弦,增加它的长度会使频率降低,反之会使频率增加;

②弦振动的频率与作用在弦上的张力的平方根成正比;

③弦振动的频率与弦的直径成反比,即在弦长、张力固定的情况下,直径越粗,频率越低;(www.chuimin.cn)

④弦振动的频率与弦的密度的平方根成反比。

事实表明,一切弦乐器的制造都离不开这4 条基本定律。

傅里叶(B. J. Fourier,1768—1830)所建立的“声音数学分析”代表了用数学方法研究音乐理论的最高成就,证得所有乐声都是简单的正弦函数之和。利用声音的三个性质即音高、音量和音质,可与其它乐声区分,而声音的这三个性质可用数学图形清楚表示。音高与曲线的频率有关,音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关。如小提琴奏出的乐声的基本公式为:

f(t)≈0.06sin1000πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt

琴弦、风琴管的振动符合某种形式的波动方程,而一个波动方程,只要附加一定的数学条件,便会产生一些数列,如一根振动的弦的波动方程就包含着某种正整数序列。借此薛定谔创立了一种原子理论,并得到电子波动方程,该方程把电子的波粒二象性完美地统一起来,圆满地解释了微观粒子的运动,就像牛顿方程圆满地解释了宏观运动那样,为此他获得了1933 年诺贝尔物理学奖。

音乐是以数学的形式记录和书写的,可否用数学形式来表达而重放音乐呢? 随着计算机技术的发展,诞生了乐器数字接口(MIDI,Musical Instrument Digital Interface)音乐,它分为两个部分:其一是音源,贮存着各种乐器在不同音域使用不同演奏方式所发出的声音,也有各种合成的电子声;其二是MIDI 文件,记录着在何时,用哪种乐器,发出哪个音调的音,发多长,用何种方式、怎样的效果发声,这些细微的参数均以二进制形式记录。

有人从圆周率的无限不循环小数中感觉到一种音乐韵律,根据曲子的抑扬顿挫需要来确定相对应音符节拍的长短,然后将这一乐谱输入电脑对曲调进行加工,这样便得到了一些优美的乐曲。听者仿佛随之进入了茫茫太古境界,其中所潜藏的震撼人心的力量,远远超出了人们的想象。

专家还发现,癌症病人发病细胞的4 种碱基构成螺旋结构,若以每个碱基代表一个音符组成一首乐曲,演奏时竟酷似波兰作曲家肖邦的《葬礼进行曲》,其阴沉和凄怆催人泪下。

傅里叶数学：音乐的数学分析与表达

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