数海拾贝：古代中国音乐中的数学理论

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：中国古代音乐创作中也应用了数学。所谓“生于度量”,即音律的确定需要数学。在中国最早利用数学制订出十二平均律的是明朝朱载堉。图3.20.1朱载堉纪念馆朱载堉的十二平均律精确规定了八度的比例,并把八度分成12 个半音,使相邻两个半音的频率比是常数。即2b=bq12q=1221.059463据十二平均律,各音级频率构成指数函数。十二平均律是目前世界上通用的把一个八度分成十二个半音音程的律制,这种律制包括了乐音的标准音高、乐音的有关法则和规律。

中国古代音乐创作中也应用了数学。《吕氏春秋·大乐》记载:“音乐之所由来者远矣:生于度量,本于太一。”所谓“生于度量”,即音律的确定需要数学。《管子·地员篇》载有确定音律的方法“三分损益法”。南宋时,何承天(370—447)创制新律,成为最早用数学解决十二平均律的人,虽然所得十二律还不是按频率比计算的真正平均律,但实际效果已相当接近。

在中国最早利用数学制订出十二平均律的是明朝朱载堉(1536—1611)。他在《律吕精义》中提出的“新法密律”计算方法,创造了十二平均律,实际上是将指数函数应用于音律的确定。

朱载堉开创的“新法密率”,用81 档的大算盘开平方、开立方,在黄钟正律和黄钟倍律之间求出了11 个数,并精确到小数点后24 位。他将十二平均律定义为:置一尺为实,以密率除之,凡十二遍。这与今天对十二平均律的定义完全一致。

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图3.20.1　朱载堉纪念馆

朱载堉的十二平均律精确规定了八度的比例,并把八度分成12 个半音,使相邻两个半音的频率比是常数。设C 的频率是b,则C′的频率为2b。若前后两个半音的频率比是q,则各半音的频率就构成了以q 为公比的等比数列。即

2b=bq12⇒q=122≐1.059463

据十二平均律,各音级频率构成指数函数。十二平均律对应着自然音阶,以C 大调为例: (www.chuimin.cn)

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根据十二平均律理论,1 和3 之间相差4 个半音,则有

264 ×1.0594634 =332.619

同样,4 和7 间相差6 个半音,则有

352 ×1.0594636 =497.803

可见,十二平均律和经过严格计算的十二倍频等分有着一定差异,但这个差值很小,人耳几乎无法分辨自然音阶和标准的等程音阶间的细微区别。朱载堉的成就震撼世界,被誉为“东方文艺复兴式的圣人”。

十二平均律是目前世界上通用的把一个八度分成十二个半音音程的律制,这种律制包括了乐音的标准音高、乐音的有关法则和规律。钢琴键盘上共有黑、白键88 个,就是根据十二平均律的原理制作的。实际上所有的键盘乐器采用的都是十二平均律,故钢琴的弦和风琴的管外形轮廓都是指数曲线。

数海拾贝：古代中国音乐中的数学理论

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