达·芬奇深刻认识到数学方法的重要性,并掌握了一些数学原理。在《最后的晚餐》中,达·芬奇应用了大量数学知识。达·芬奇的其他代表作《蒙娜丽莎》《岩间圣母》等也为世人所赞扬。......
2023-11-23
因式分解的起源和方法-数学家的故事
【摘要】：因式分解的最初目的是为了快捷求解代数方程,对此许多数学家做了尝试,最终凝练成我们今天熟知的一些规律。韦达和哈里奥特韦达在其《论方程的整理和修改》中,首先给出代数方程的多项式因式分解方法,并证得所有三次和三次以上的一元多项式在实数范围内皆可因式分解。笛卡儿与因式分解1637 年笛卡儿在其《几何学》中,首次应用待定系数法将4 次方程分解为两个2 次方程求解,并最早给出因式分解定理。
因式分解的最初目的是为了快捷求解代数方程,对此许多数学家做了尝试,最终凝练成我们今天熟知的一些规律。
(1)韦达和哈里奥特
韦达在其《论方程的整理和修改》中,首先给出代数方程的多项式因式分解方法,并证得所有三次和三次以上的一元多项式在实数范围内皆可因式分解。
仿照韦达,英国数学家哈里奥特在其1631 年出版的《实用分析术》(Artis Analyticae Praxis)第二部分讨论了应用因式分解法求解代数方程。 其大体思路为:
若a=b,则a-b=0,从而(ab)(a+c) =0;
图3.16.6 哈里奥特
故a =b 是方程(a -b)(a +c) =a2 -ba+ca-bc=0 的一个根。
(2)笛卡儿与因式分解
1637 年笛卡儿在其《几何学》中,首次应用待定系数法将4 次方程分解为两个2 次方程求解,并最早给出因式分解定理。 他认为,函数f(x)能被(x - a)整除,当且仅当a 是f(x) =0 的一个根。 他把两式x-2 =0,x-3 =0 相乘,得到
x2 -5x+6 =0
推出该方程的两个根为2 和3。
关于笛卡儿的“待定系数法”原理,举例说明如下:为把x2 -1 分解成两个因式,假设(www.chuimin.cn)
x2 -1 =(x+b)(x+d)
而
(x+b)(x+d) =x2 +(b+d)x+bd
因等式两边x 同次幂项的系数相等,有
b+d=0,bd= -1
由第一个式子知,b,d 互为相反数,而其乘积又为-1,因而就有
x2 -1 =(x+1)(x-1)
现今待定系数法已成为多项式因式分解、分式分项分解的有力工具。
图3.16.7 笛卡儿
笛卡儿认为:“要想追求真理,必须在一生中尽可能地把所有事物都怀疑一次。”在此科学理念引导下,他博学多识,追求简单,成果丰硕。
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