数学海洋：乘法公式的演化

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：《几何原本》中的乘法公式资料表明,早在公元前1700 年左右,古巴比伦人已会用简单的乘法公式,当然他们是用文字表述。在欧几里得《几何原本》第二卷中,给出一系列乘法公式的文字叙述和逻辑证明,因未引进数学符号,叙述显得有些啰嗦。图3.16.4古法七乘方图图3.16.5帕斯卡近年来,国外一些学者也逐渐承认这项成果的优先权属于中国,有些文献已称之为“中国三角形”。

(1)《几何原本》中的乘法公式

资料表明,早在公元前1700 年左右,古巴比伦人已会用简单的乘法公式,当然他们是用文字表述。例如问题:长乘宽得10,且长大于宽的量自乘之9 倍等于长自乘,试求长与宽。若设长为x,宽为y,则有xy=10,9(x-y)2 =x2。

在欧几里得《几何原本》第二卷中,给出一系列乘法公式的文字叙述和逻辑证明,因未引进数学符号,叙述显得有些啰嗦。如第二卷命题4 是这样叙述的:

命题4 若任意两分一条线段,则在整条线段上的正方形面积等于各个小段上的正方形面积之和加上由两小线段构成矩形面积的二倍。

如图3.16.1 所示,设点C 任意两分线段AB,AC = a,CB=b,则有

(a+b)2 =a2 +2ab+b2

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图3.16.2　《几何原本》第二卷命题6

《几何原本》中也给出了著名的平方差公式,此即第二卷命题6。

命题6 若平分一条线段并且添加上另一条线段,则合成线段与添加线段构成的矩形面积与原线段一半上的正方形面积之和,等于原线段一半与添加线段之和上的正方形面积。

这个叙述让人有些费解,不过把关系理清楚就较为容易理解了。如图3.16.2 所示,设点C 平分线段AB,并加上线段BD,则可证由线段AD、BD 构成的矩形面积与以CB 为边长构成的正方形面积之和,等于以CD 为边的正方形面积。设AB=a,BD=b,则有

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整理为

4(a+b)b+a2 =[(a+b) +b]2

2(a+b)b+a2 =(a+b)2 +b2

a2 -b2 =(a-b)(a+b)(www.chuimin.cn)

得

(2)贾宪三角还是帕斯卡三角

我国关于下式

展开系数规律的发现是在11 世纪中叶,比西方早600 年左右。其发现者是北宋数学家贾宪。贾宪曾在朝中任左班殿值,对《九章算术》颇有研究,著有《黄帝九章算经细草》和《释锁》,可惜两书均已失传。幸运的是,两书部分内容均被杨辉(约13 世纪中)摘录进其《详解九章算法》(1261 年)之中。

杨辉是钱塘(今杭州)人,中国古代数学家和数学教育家。曾任南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带,著有数学书籍5 种21 卷。他非常重视数学教育,在《算法通变本末》中专为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献。根据杨辉的记载,贾宪约在公元1050 年完成了《黄帝九章算经细草》,首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,其基础是“开方作法本源”图。

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