九章算术：二元一次方程组解析

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：《九章算术》方程章中共有18 道题,其中关于二元一次方程组的有8 题,三元的6 题,四元、五元的各2 题,皆是用直除法求解。如第2、10 题就是典型的二元一次方程组。依题意得方程组可解得在《九章算术》中,多是采用分离系数法表示线性方程组,这相当于现在的矩阵表示。尽管在丢番图的《算术》中,给出了题目“已知两数之和为100,之差为40,求两数”,但在西方直到17 世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程组解法法则。

《九章算术》方程章中共有18 道题,其中关于二元一次方程组的有8 题,三元的6 题,四元、五元的各2 题,皆是用直除法求解。该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法,理论上和现在的加减消元法基本一致。如第2、10 题就是典型的二元一次方程组。

第2 题今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗;下禾八秉,益实一斗与上禾二秉,而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何?

这里的“损实”就是减去,“益实”就是加上,故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念。同时在“术”中还给出移项的概念。

按术计算有:设上禾每捆打谷x 斗,下禾每捆打谷y 斗。则据题意可得方程组

移项,得

化简,解得

第10 题今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十。问甲、乙持钱各几何?(www.chuimin.cn)

题意为:今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱。若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其2/3 的钱给乙,则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱?

设甲持钱为x,乙持钱为y。依题意得方程组

可解得

在《九章算术》中,多是采用分离系数法表示线性方程组,这相当于现在的矩阵表示(线性方程组的系数用数表表示)。而解线性方程组所使用的直除法,与矩阵初等变换(交换两行位置,某行乘以非零数,两行相加减)相一致。另外,

求解线性方程组时中国古人还施行了正负数的乘除法,这是世界数学史上一项重大成就。尽管在丢番图的《算术》中,给出了题目“已知两数之和为100,之差为40,求两数”,但在西方直到17 世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程组解法法则。

此外,我国古典数学著作《孙子算经》《张丘建算经》《数书九章》《详解九章算法》《九章算法比类大全》《算法统宗》等,也介绍了线性方程组解法。清代数学家梅文鼎(1633—1721)的《方程论》共有90 道线性方程组问题,其中未知数个数最多达6 个,解法也多是利用加减消元法。关于著《方程论》的宗旨,梅文鼎曾向友人方中通(1633—1698)解释道:“方子精西学,愚病西儒排西算,著《方程论》,谓虽利氏无以难。”其大意是,中国古代关于线性方程组的研究成果,是西方数学难以比拟的,故我们完全不必在“西儒”(如利玛窦)面前妄自菲薄。

九章算术：二元一次方程组解析

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