教学中要引导学生抓住长方形、正方形四边之和，通过多种算法的比较，指出其本质都是求出长方形、正方形的周长；再利用长方形、正方形的图形特点，推导、归纳长方形和正方形周长的计算公式。这有利于学生从中得到启发，逐步掌握并不断优化长方形周长的计算方法。引导学生根据正方形的特点以及周长的含义，得出正方形的周长是把四边相加。......
2023-07-27
几何原本：矩形和正方形的关系
【摘要】：《几何原本》第二卷主要讨论了不同的矩形和正方形的关系,其中多数命题可用现代代数符号解释,即是用几何图形表示代数概念和运算。命题4 若任意两分一条线段,则在整条线段上的正方形面积等于各个小段上的正方形面积之和加上由两小线段所构成矩形面积的二倍。“方”是指正方形或长方形,且含有单位面积之意。但是四边形四条边的长度确定后,却可以组成不同的四边形:正方形、菱形、矩形等。
《几何原本》第二卷主要讨论了不同的矩形和正方形的关系,其中多数命题可用现代代数符号解释,即是用几何图形表示代数概念和运算。 第二卷从矩形定义开始:任何矩形都是由形成直角的两条线段构成。
这一定义并未说明矩形面积等于其长和宽的乘积,因欧几里得当时还无法给出任意长度的乘法定义,故他从未把长和宽相乘。
命题1 如果有两条线段,其中一条被截成任意几段,则原来两条线段构成的矩形面积等于各个小段和未截那条线段构成的矩形面积之和。
图3.12.10 《几何原本》卷二命题1
假设已知L、BC 是两条线段,用点D、E 分线段BC,则L、BC 所构成矩形的面积等于几个小矩形的面积之和。 若L 的长度为l,三个小矩形另一边的长度分别记为a,b,c,此即乘法分配律:l(a+b+c) =la+lb+lc。
命题4 若任意两分一条线段,则在整条线段上的正方形面积等于各个小段上的正方形面积之和加上由两小线段所构成矩形面积的二倍。(www.chuimin.cn)
图3.12.11 《几何原本》卷二命题4
假设点C 任意两分线段AB,则可证以AB 为边的正方形面积等于以AC 和BC 为边的正方形面积加上以AC 和BC 为边的长方形面积的二倍。 这一命题可表示为:(a +b)2 =a2 +b2 +2ab。
我国经典数学著作《九章算术》的第一章方田,主要是各种不同形状田地面积的计算。 “方”是指正方形或长方形,且含有单位面积之意。 我国古时也称长方形的田为直田或广田。 其中给出各种形状的土地面积计算法,主要有方田(长方形)、圭田(等腰三角形)、邪田(直角梯形)、箕田(等腰梯形)、圆田(圆形)、宛田(球冠形)、弧田(弓形)、环田(圆环或环缺形)等,除宛田、弧田用近似计算法外,其它图形面积算法都是正确的。 方田章前两题就揭示出长方形的面积等于长乘以宽。 这就表明,公元1 世纪前,我国数学家通过对一些实际问题的研究,得出了一般长方形面积的算法公式,进而再广泛应用于现实问题之中。
给定三条边长,三角形就可以唯一确定。 但是四边形四条边的长度确定后,却可以组成不同的四边形:正方形、菱形、矩形等。 而且四边形可以有凹角,四条边也可不在一个平面内。 故从三角形到四边形虽然仅仅增加了一条边,但其本质上却有了很大差异。
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2023-06-24
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2023-11-20
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