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2023-11-23
数学和数学家的故事：三角形和平行四边形
【摘要】：命题41 若一个平行四边形和一个三角形既同底又在两平行线之间,则平行四边形面积是三角形的2 倍。图3.12.7《几何原本》卷一命题43若AC 为ABCD 的对角线,则其所谓平行四边形补形为BGKE 和KFDH。利用三角形全等可以证明之。图3.12.8《几何原本》卷一命题44若已知线段为AB,直线角为D,三角形为C,求作以AB为一边、某底角等于∠D、面积等于三角形C 的平行四边形。连接BD,则问题就转化为作两个平行四边形,其面积分别等于两个三角形的面积。
大家知道,两个全等三角形可以拼成一个平行四边形,同底等高的平行四边形面积是三角形的2 倍(《几何原本》卷一命题41)。 如何作一个平行四边形,使其面积等于已知三角形? 欧几里得给出一种作法(《几何原本》卷一命题42)。
命题41 若一个平行四边形和一个三角形既同底又在两平行线之间,则平行四边形面积是三角形的2 倍。
图3.12.5 《几何原本》卷一命题41
图3.12.6 《几何原本》卷一命题42
▱ABCD 和△BCE 满足定理条件,连接线段AC,则易知△ABC 和△BCE 面积相等,再利用命题34,命题得证。
命题42 以已知直线角求作平行四边形,使其面积等于已知三角形。
命题42 进一步沟通了平行四边形和三角形之间的联系,所作平行四边形的一个底角等于已知直线角,其面积等于已知三角形面积。
命题41 和命题42 可谓相辅相成。 前者是把平行四边形分解为三角形;后者把三角形转化为面积相等的平行四边形,且在某底角确定时是唯一的。
命题43 在任意平行四边形中,对角线两边的平行四边形补形面积相等。
(www.chuimin.cn)
图3.12.7 《几何原本》卷一命题43
若AC 为▱ABCD 的对角线,则其所谓平行四边形补形为▱BGKE 和▱KFDH。 利用三角形全等可以证明之。
命题44 用已知的线段、直线角和三角形,求作平行四边形,使其面积等于已知三角形。
图3.12.8 《几何原本》卷一命题44
若已知线段为AB,直线角为D,三角形为C,求作以AB为一边、某底角等于∠D、面积等于三角形C 的平行四边形。欧几里得利用平行线的性质,作出▱ABML,其面积等于三角形C 的面积,∠ABM 等于直线角∠D。
命题45 用已知直线角,求作平行四边形,使其面积等于已知直线形。
已知直线角∠E 和直线形ABCD,求作平行四边形,使其面积等于直线形ABCD 的面积。 连接BD,则问题就转化为作两个平行四边形,其面积分别等于两个三角形的面积。 故命题45 是命题44 的推广。
图3.12.9 《几何原本》卷一命题45
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