欧几里得几何：《几何原本》的成功公理化系统

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：欧几里得借此将各个孤立的几何证明系统统一起来,其《几何原本》共分13 卷,包括119 条定义、5 条公设、5 条公理和465 条命题。故《几何原本》是公理化系统的第一个成功范例。图3.9.7欧几里得图3.9.81482 年《几何原本》书影公理1 等于同量之量彼此相等:若a=b,b=c,则a=c。至今除《圣经》外再无任何西方书籍能像欧几里得的《几何原本》一样被译成如此多种语言,拥有如此众多的读者。

逻辑学赋予了几何学研究以演绎构造,完善了几何证明的推理工具。欧几里得借此将各个孤立的几何证明系统统一起来,其《几何原本》共分13 卷,包括119 条定义、5 条公设、5 条公理和465 条命题。然而不管其几何宫殿多么富丽堂皇,其结构却很简单,全部结论都是从少数几个公理演绎推理而来,公理犹如楼房地基,有了坚实、牢固的基底,方能一层层叠上去。故《几何原本》是公理化系统的第一个成功范例。

欧几里得首先给出定义:点(没有部分),线(只有长度没有宽度),面(只有长度和宽度,其边缘是线),角(在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度),垂直(当两条直线相交成的邻角彼此相等时,这些角均称为直角,且称这两条直线互相垂直)等;接着给出5 条公设和5 条公理。

公设1 从一点到另一点可作一直线。

公设2 有限的直线可以无限延长。

公设3 以任意中心和直径皆可画圆。

公设4 所有直角都相等。

公设5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,则把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

易见这些公设叙述了某些几何作图的可能性,而第四公设为全等理论的基础,但还有许多类似公设未给出,也不能从所给公设推出,如两个圆若各通过对方圆心则必相交等(从现在观点来看,欧几里得公设体系尚不够完整)。

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图3.9.7　欧几里得(https://www.chuimin.cn)

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图3.9.8　1482 年《几何原本》书影

公理1 等于同量之量彼此相等:若a=b,b=c,则a=c。

公理2 等量加等量其和相等:若a =b,c=d,则a +c=b+d。

公理3 等量减等量其差相等:若a =b,c=d,则a -c=b-d。

公理4 彼此重合的图形全等。

公理5 整体大于部分。

公理中所指的量可以是线段、角度、面积等一切几何量,而第四个公理将判定几何量相等与否归结于图形是否全等或重合。关于公理与公设的区别,大概为前者处理简单的逻辑推理,后者处理空间知觉问题。

在古埃及和古巴比伦人的基础上,古希腊人把几何学推进到一个崭新的时代。古希腊几何学不仅有辉煌的研究成果,而且提出了数学基本观点,为数学发展奠定了坚实的基础。今天看来,《几何原本》虽存在某些缺陷,但其具有宏伟结构、精巧安排、严密叙述和迷人结论,实在是无可比拟的科学著作。至今除《圣经》外再无任何西方书籍能像欧几里得的《几何原本》一样被译成如此多种语言,拥有如此众多的读者。 1607 年徐光启和利玛窦把其前六卷译成中文出版,定名为《几何原本》,几何学一些基本术语如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等都是由该译本确定下来并沿用至今的,该译本又传到日本和韩国等。据说康熙皇帝曾在传教士指导下,认真研读了《几何原本》,有时会在早朝后和大臣们一同证明几何题。

欧几里得几何：《几何原本》的成功公理化系统

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