欧几里得在20 世纪以前,欧几里得几乎就是几何学的同义语。正是欧几里得使几何学成为一门独立的科学,他把逻辑证明系统地引入数学之中,强调逻辑证明是确立数学命题真实性的基本方法。《几何原本》所用公理化逻辑演绎范式几乎决定了其后整个西方数学和科学发展史。至19 世纪末,《几何原本》的印刷版本有一千余种,如今世界各国主要文种皆有《几何原本》译本。图1.1.2中译15 卷本《几何原本》书影......
2023-11-23
欧几里得几何：《几何原本》的成功公理化系统
【摘要】：欧几里得借此将各个孤立的几何证明系统统一起来,其《几何原本》共分13 卷,包括119 条定义、5 条公设、5 条公理和465 条命题。故《几何原本》是公理化系统的第一个成功范例。图3.9.7欧几里得图3.9.81482 年《几何原本》书影公理1 等于同量之量彼此相等:若a=b,b=c,则a=c。至今除《圣经》外再无任何西方书籍能像欧几里得的《几何原本》一样被译成如此多种语言,拥有如此众多的读者。
逻辑学赋予了几何学研究以演绎构造,完善了几何证明的推理工具。 欧几里得借此将各个孤立的几何证明系统统一起来,其《几何原本》共分13 卷,包括119 条定义、5 条公设、5 条公理和465 条命题。 然而不管其几何宫殿多么富丽堂皇,其结构却很简单,全部结论都是从少数几个公理演绎推理而来,公理犹如楼房地基,有了坚实、牢固的基底,方能一层层叠上去。 故《几何原本》是公理化系统的第一个成功范例。
欧几里得首先给出定义:点(没有部分),线(只有长度没有宽度),面(只有长度和宽度,其边缘是线),角(在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度),垂直(当两条直线相交成的邻角彼此相等时,这些角均称为直角,且称这两条直线互相垂直)等;接着给出5 条公设和5 条公理。
公设1 从一点到另一点可作一直线。
公设2 有限的直线可以无限延长。
公设3 以任意中心和直径皆可画圆。
公设4 所有直角都相等。
公设5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,则把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
易见这些公设叙述了某些几何作图的可能性,而第四公设为全等理论的基础,但还有许多类似公设未给出,也不能从所给公设推出,如两个圆若各通过对方圆心则必相交等(从现在观点来看,欧几里得公设体系尚不够完整)。
图3.9.7 欧几里得(www.chuimin.cn)
图3.9.8 1482 年《几何原本》书影
公理1 等于同量之量彼此相等:若a=b,b=c,则a=c。
公理2 等量加等量其和相等:若a =b,c=d,则a +c=b+d。
公理3 等量减等量其差相等:若a =b,c=d,则a -c=b-d。
公理4 彼此重合的图形全等。
公理5 整体大于部分。
公理中所指的量可以是线段、角度、面积等一切几何量,而第四个公理将判定几何量相等与否归结于图形是否全等或重合。 关于公理与公设的区别,大概为前者处理简单的逻辑推理,后者处理空间知觉问题。
在古埃及和古巴比伦人的基础上,古希腊人把几何学推进到一个崭新的时代。 古希腊几何学不仅有辉煌的研究成果,而且提出了数学基本观点,为数学发展奠定了坚实的基础。 今天看来,《几何原本》虽存在某些缺陷,但其具有宏伟结构、精巧安排、严密叙述和迷人结论,实在是无可比拟的科学著作。 至今除《圣经》外再无任何西方书籍能像欧几里得的《几何原本》一样被译成如此多种语言,拥有如此众多的读者。 1607 年徐光启和利玛窦把其前六卷译成中文出版,定名为《几何原本》,几何学一些基本术语如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等都是由该译本确定下来并沿用至今的,该译本又传到日本和韩国等。 据说康熙皇帝曾在传教士指导下,认真研读了《几何原本》,有时会在早朝后和大臣们一同证明几何题。
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