古希腊数学：证明方法与思维技巧

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：古希腊人把“题设”称为“前提”,并分为“公理”和“公设”。古希腊人设计出“归纳”“演绎”“反证”等思维方法和技巧。若把数学看作是一枚火箭,则数学证明就是发射该火箭的燃料,而其燃料的发明者就是古希腊人。古希腊人使自己不受制于热情、迷信和恐惧,从沉思和领悟中追寻最平凡的幸福。古希腊学者德谟克利特曾说:“我宁愿发现一个证明,而不要波斯王座。”

古希腊人对数学的贡献之一就是有意识强调:一些数学概念诸如数和图形是思维抽象的提升,应从不同事物中找出其共性,而形成一般概念。比如从太阳、满月、车轮等具体实物中抽象出“圆”,就像从牛、马、猫、狗抽象出“动物”。而埃及人所说的直线是拉紧的绳或田地边。在几何学学习过程中,最重要的是掌握逻辑推理方法,学会几何演绎证明。用较复杂步骤去证明简单几何问题时,也许会感到有些枯燥无味,但追求真、善、美的几何精神正源于此。论证数学的先驱者泰勒斯和毕达哥拉斯等年轻时都曾访问埃及和美索不达米亚地区,他们努力把那些看似联系不大的经验规律整合成知识体系,并证明了一些几何定理,如泰勒斯定理和勾股定理等。

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图3.9.5　古希腊学者泰勒斯

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图3.9.6　古希腊数学家毕达哥拉斯纪念币(www.chuimin.cn)

古希腊人对数学的最大贡献就是坚持一切数学结果必须用演绎法(逻辑证明)推出,因而对于我们今天看来是一些“无须证明”的定理,他们也要给出严格的证明。证明并非将明显事情用几何语言重复一遍,而是需要逻辑推理,这对任何人都具有不可抗拒的逻辑说服力。也正是这种理性精神孕育了西方科学。古希腊民主主义国家也许由此而来:不使用拳头、金钱和权力而是在公平条件下说服他人,那就需要一种正确的对话方法。故应采用大家都认可的语言来表述自己的观点,然后一点点通过推理切入复杂命题,最终得出结论。

证明是从“题设”到“结论”的论证过程。古希腊人把“题设”称为“前提”,并分为“公理”和“公设”。亚里士多德认为,公理是一切科学所公有的真理,而公设则只是某一门科学的第一性原理。每门近现代科学诸如经典力学、量子力学、相对论、统计力学都有其基本原理,而这些基本原理的可靠性是由它们所推出的结论与实验符合来证明的。

所列公理或公设数目愈少愈好,只要其能用以证明所有命题即可。古希腊人设计出“归纳”“演绎”“反证”等思维方法和技巧。凡能用“公理”和“公设”推证的命题,称为“定理”。

若把数学看作是一枚火箭,则数学证明就是发射该火箭的燃料,而其燃料的发明者就是古希腊人。古希腊人使自己不受制于热情、迷信和恐惧,从沉思和领悟中追寻最平凡的幸福。古希腊学者德谟克利特(Demokritos,约公元前460—前370)曾说:“我宁愿(在几何学上)发现一个证明,而不要波斯王座。”

古希腊数学：证明方法与思维技巧

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