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早期不等关系在数海拾贝中的记载

【摘要】:研究表明,毕达哥拉斯学派研究了数的若干性质,但其对数字之间的大小比较关系关注较少。关于不等关系的表述最早出现在欧几里得的《几何原本》中,如第1 卷定义11把大于直角的角称为钝角,定义12 把小于直角的角称为锐角。关于不等关系最为典型的叙述是第5 卷的前两个定义。借助欧多修斯的思路,还可以证明重要不等式

研究表明,毕达哥拉斯学派研究了数的若干性质,但其对数字之间的大小比较关系关注较少。 关于不等关系的表述最早出现在欧几里得的《几何原本》中,如第1 卷定义11把大于直角的角称为钝角,定义12 把小于直角的角称为锐角。 关于不等关系最为典型的叙述是第5 卷的前两个定义。

定义1 当一个较小量能量尽一个较大量时,则称较小量为较大量的一部分。

定义2 当一个较大量能被一个较小量量尽时,则称较大量为较小量的倍量。

比欧几里得稍晚一些的阿基米德,更是认识到了不等关系,在其著作《论球与圆柱》中推证球体积公式时,利用了不等关系的一些结论,例如:

设a,b 是两个已知量,并且a>b,若在a,b 之间插入两个算术中项c,d(即a-c=c-d=db),则有a3∶ c3 <a∶ b。

不妨来验证其结论,假设a,c,d,b 分别取值为8,6,4,2,则有

图3.6.1 阿基米德

a3∶ c3 =83∶ 63 =64∶ 27,a∶ b=8∶ 2 =4∶ 1

显然64∶ 27 <4∶ 1。

直到6 世纪,欧多修斯(Eutocius)在对阿基米德《论球与圆柱》的注释中才证明了此命题。 其基本思路为:(www.chuimin.cn)

设x,y 满足:a∶ c=c∶ x=x∶ y,则有

因a>c>x>y>0,有

a-c>c-x>x-y

而a-c=c-d=d-b,有

c-d>c-x,d-b>x-y,则x>d,y>b

a3∶ c3 =a∶ y<a∶ b

需要说明的是,因当时尚未发明数学符号,其推证过程显得较为复杂。 借助欧多修斯的思路,还可以证明重要不等式