《九章算术》中的负数加减法运算法则及其影响

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：图3.3.1《九章算术》书影关于负数的加减法运算法则在《九章算术》中给出,其最晚成书于公元前1 世纪。意为在计算过程中遇到具有相反意义的量,应用正负数加以区分。即在算筹运算中,用红筹表示正数,用黑筹表示负数;亦可用斜放小竹棍表示负数,用正放小竹棍表示正数。用不同颜色的数表示正负数,一直沿用至今。此外,东汉末年的刘洪和宋代杨辉也论及了正负数加减法则,皆与《九章算术》一致。

史料记载,我国在战国时期就认识到了负数,如李悝(约公元前455—前395)在《法经》中写道:“衣五人终岁用千五百不足四百五十。”而在甘肃居延出土的汉简中,有“相除以负百二十四算”“负二千二百四十五算”“负四算,得七算,相除得三算”等类似叙述,这里把“负”与“得”相对,意为缺少、亏空,就是今天负数的雏形。

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图3.3.1　《九章算术》书影

关于负数的加减法运算法则在《九章算术》中给出,其最晚成书于公元前1 世纪。

同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。

这里的“同名”和“异名”就是“同号”和“异号”,“相益”和“相除”是二数绝对值“相加”和“相减”,“无”即“零”。前四句为减法法则,后四句为加法法则。大意为:同号两数相减,等于其绝对值相减(若绝对值较大者为被减数则符号不变,否则要改变符号);异号两数相减,等于其绝对值相加(取绝对值较大者符号);零减正数得负数,零减负数得正数。异号两数相加,等于其绝对值相减(取绝对值较大者符号);同号两数相加,等于其绝对值相加(符号不变);零加正数等于正数,零加负数等于负数。用现代数学符号可表示为:

减法法则(假设a>b>0)

( ±a) -( ±b) = ±(a-b)

( ±b) -( ±a) =∓(a-b)

( ±a) -(∓b) = ±(a+b)

0 -a= -a,0 -( -a) = +a(www.chuimin.cn)

加法法则

( ±a) +(∓b) = ±(a-b)

( ±b) +(∓a) =∓(a-b)

( ±a) +( ±b) = ±(a+b)

0 +a=a,0 +( -a) = -a

刘徽(约225—295)在注释《九章算术》时,给出负数解释:“两算得失相反,要令正负以名之。”意为在计算过程中遇到具有相反意义的量,应用正负数加以区分。他还第一次给出区分正负数的方法:“正算赤,负算黑;否则以邪正为异。”即在算筹运算中,用红筹表示正数,用黑筹表示负数;亦可用斜放小竹棍表示负数,用正放小竹棍表示正数。用不同颜色的数表示正负数,一直沿用至今。

此外,东汉末年的刘洪(约130—210)和宋代杨辉也论及了正负数加减法则,皆与《九章算术》一致。尤其值得称道的是,朱世杰(1249—1314)在其1299 年问世的《算学启蒙》中给出了正负数的乘除法则:

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图3.3.2　《算学启蒙》书影

同名相乘为正,异名相乘为负,同名相除所得为正,异名相除所得为负。这里的乘除运算已是今天的乘除了。

《九章算术》中的负数加减法运算法则及其影响

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