或许在整个数学中，还找不到另一个定理，其证明方法之多能够超过毕达哥拉斯定理，不同的时代，不同的国家和地区，不同职业的人物都在寻找定理的新的证明方法.据说，在中世纪，要求取得数学学位的学生必须提供毕达哥拉斯定理的原创证明，这激发了学生和老师们不断提供新的、有创意的证明方法.美国克里夫兰西部高中数学教师卢米斯（1825—1940）在他做教师的50年间，收集整理了毕达哥拉斯定理的371种证明，出版了一本......
2023-11-19
毕达哥拉斯定理的发现和证明，以及其背后的故事
【摘要】：据传毕达哥拉斯学派为庆祝该定理的发现曾宰杀百牛祭祀缪斯女神,但这与该学派所奉行的素食主义相悖。后人对毕达哥拉斯发现和证明勾股定理有各种猜测。图3.2.14毕达哥拉斯定理图3.2.15毕达哥拉斯定理的证明一般认为,毕达哥拉斯采用了剖分方法来证明定理。因而就有化简后则得到毕达哥拉斯定理。《几何原本》中的毕达哥拉斯定理图3.2.16毕达哥拉斯纪念碑3.2.17《几何原本》命题473.2.18希腊1955 年邮票毕达哥拉斯定理是《几何原本》第一卷命题47。
西方称勾股定理为毕达哥拉斯定理,其叙述也与中国有所区别:直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和。 据传毕达哥拉斯学派为庆祝该定理的发现曾宰杀百牛祭祀缪斯女神,但这与该学派所奉行的素食主义相悖。 后人对毕达哥拉斯发现和证明勾股定理有各种猜测。
(1)定理的发现
某天毕达哥拉斯到朋友家做客,发现朋友家用砖所铺成地面的图案反映了三个正方形A、B、C 面积之间的数量关系,即A+B =C。 回家后他仍苦苦思考着该问题,突然灵光闪现,悟出了定理的证明。 据传他当时紧紧抱着妻子大声喊道:“我终于证明了!”
图3.2.14 毕达哥拉斯定理
图3.2.15 毕达哥拉斯定理的证明
一般认为,毕达哥拉斯采用了剖分方法来证明定理。 如图3.2.15 所示,设a,b,c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边,考虑边长为a+b 的正方形,该正方形被分成4 个全等直角三角形和一个以斜边为边长的正方形。 因而就有
化简后则得到毕达哥拉斯定理。
在毕达哥拉斯的家乡萨摩斯岛上,修建了一座毕达哥拉斯纪念碑,其形状为直角三角形,有个巨人仰望天空,举起手臂试图连接起直角边,那个巨人就是毕达哥拉斯(图3.2.16)。
(2)《几何原本》中的毕达哥拉斯定理
(www.chuimin.cn)
图3.2.16 毕达哥拉斯纪念碑
3.2.17 《几何原本》命题47
3.2.18 希腊1955 年邮票
毕达哥拉斯定理是《几何原本》第一卷命题47。 欧几里得的证明思路如图3.2.17 所示:作CL 垂直于DE,则该线分正方形BADE 为二部分,可证其面积分别与其斜上方两个小正方形面积相等。 具体方法是:先证△FAB≌△CAD,再由三角形面积是同底等高的平行四边形面积的一半,知△FAB 的面积是正方形FACH 的一半,△CAD 的面积是矩形ADLM 的一半,得证。
欧几里得的证明还告知我们,如何作出一个正方形使其面积等于所给两个正方形之和,即求x,使x2 =a2 +b2。
由于《几何原本》流传广泛,欧几里得给出的定理证明最为著名。 希腊人称之为“已婚妇女定理”,阿拉伯人称之为“新娘图”“新娘座椅”,在欧洲还被称为“孔雀尾巴”“圣人头巾”和“大风车”等。 两千年来世界上不同文字的《几何原本》对这一颇具特色的定理证明都附插图,异文同图,饶有趣味。
欧几里得还给出了毕达哥拉斯定理的逆定理:
命题48 若三角形一边上的正方形面积等于其它两边上的正方形面积之和,则其它两边的夹角是直角。
勾股定理是欧几里得几何中三角形边角关系的重要表现形式,虽属于直角三角形情形,但也不失一般性。 故欧几里得在《几何原本》第一卷,以勾股定理为核心展开,一方面奠定了其公理体系架构,另一方面围绕勾股定理的证明,揭示了面积的自然基础,并在第二卷将勾股定理推广到任意三角形,给出余弦定理。
从多元文化视角看,勾股定理是全人类共同的文化精华。 更有趣的是,华罗庚曾想象,勾股定理可作为地球人与外星人交流的语言。 作为人类智慧的结晶,勾股定理实可谓是几何学的明珠,千百年来始终散发着无穷无尽的光彩。
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