大禹勾股定理及中国数学史

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：大禹治水勾股定理的称谓源于对直角三角形的认识。大禹应是世界上有史记载的第一位应用勾股定理者,其在治水实践中总结出了勾股术,用来确定两处水位的高低差。即大禹除了把勾股定理应用于治水工程之中,还把其数学原理渗透到国家的建章立制中。因此商高已漂亮证明了勾股定理。他注释了《周髀算经》,并作“勾股圆方图”,其中的“弦图”再次证明了勾股定理。

(1)大禹治水

勾股定理的称谓源于对直角三角形的认识。中国古人称直角三角形为勾股形,较短直角边称为勾,较长直角边称为股,而斜边谓之弦。大禹(公元前21 世纪)应是世界上有史记载的第一位应用勾股定理者,其在治水实践中总结出了勾股术(勾股计算方法),用来确定两处水位的高低差。

《史记卷二·夏本纪第二》记载:“陆行乘车,水行乘船,泥行乘橇,山行乘檋。左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道,陂九泽,度九山。”其中的“规”和“矩”就是运用勾股定理的实用工具之一。

上述记载的大意为:大禹乘车行走于陆地,乘船航行于水中,乘木橇穿梭于泥沼,穿带齿的鞋攀爬山路。他左手拿着准和绳,右手拿着规和矩,还装载着测量四时定方向的仪器,来开发九州土地,疏导了河道,修治了湖泊,测量了高山。

另《周髀算经》记载:“故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”即大禹除了把勾股定理应用于治水工程之中,还把其数学原理渗透到国家的建章立制中。

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图3.2.4　《周髀算经》书影

(2)商高定理

不少学者认为勾股定理应称为商高定理,因在我国最早的一部数学和天文著作《周髀算经》(成书于公元前1 世纪)中记载了该定理,定理证明者是周武王的史策——商高(约公元前1120 年,主要负责星象观测和祭天事宜)。该书开篇是周公(周武王的大臣)与商高的一段对话。

周公知道商高非常精通数学,就问其是如何测定“日高”和“地宽”有关数据的。 “夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句(同勾)广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”

关于这段话的意思,首先,中国古代数学家认为宇宙万物的数学抽象均可归结为对“圆”“方”的计算。因《周髀算经》中取圆周率为3,故对于圆与其外切正方形而言,无论是面积还是周长之比,均为“圆∶ 方=3∶ 4”,则有“圆面积=外切正方形面积×3/4”,而正方形源自长宽相等的矩形,矩形面积计算依照九九乘法表。

然后,商高给出勾股定理的特例,即勾三、股四、弦五,最终证明了勾股定理。其证明过程可分为3 步:①以矩形的两条边画正方形(勾方、股方,图3.2.5),在此基础上再作一个大正方形(图3.2.6);②从大正方形外侧裁去一半,得到一个直角三角形(图3.2.7);③将所得直角三角形环绕正方形四角放置,则形成中间一个以弦为边长的正方形(图3.2.8)。

从图3.2.8 来看,大正方形减去4 个三角形面积后为弦方,而大正方形减去右上和左下两个长方形面积后为勾方与股方之和;因三角形面积为长方形的一半,可知4 个三角形面积等于右上和左下两个长方形面积,故有“勾方+股方=弦方”。因此商高已漂亮证明了勾股定理。由于年代久远,加之传世版本没有商高的弦图,致使某些学者误以为其只是说了一段莫名其妙的话。(www.chuimin.cn)

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