数海拾贝：数论中的1+1验证-哥德巴赫猜想

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：欧拉读了哥德巴赫的来信,并验证了其猜想,但一般证明未果。哥德巴赫猜想的提出是对数学家的挑战,它至今仍是一个未解决的数学难题。随后又证得“3 +3”、“2 +3”,使中国在哥德巴赫猜想研究领域达到国际领先水平。陈景润更是在异常艰苦的工作环境中,向哥德巴赫猜想进军。1966 年陈景润对筛法作了重要改进,仅用一支笔和大量草稿纸攻克了“1 +2”,成为哥德巴赫猜想研究史上的重要里程碑,其研究结论被称为“陈氏定理”。

1978 年1 月徐迟在《人民文学》上发表了报告文学《哥德巴赫猜想》,很多人由此知道陈景润证明了“1 +2”,而“1 +1”还没证明出来。

请看:任取一个偶数,如8 可写成两个素数之和,即8 =5 +3,再如12 =7 +5。而任取一个奇数,如17 则可写成三个素数之和,即17 =13 +2 +2 或17 =11 +3 +3,17 =7 +5 +5,17=7 +7 +3 等;再如31 =17 +13 +1 或31 =23 +5 +3,31 =19 +7 +5 等,亦是三个素数之和。

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图3.1.1　哥德巴赫

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图3.1.2　哥德巴赫猜想手稿

德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690—1764)发现了上述事实,并于1742 年6 月7 日写信给当时著名数学家欧拉(L.Euler,1707—1783)提出猜想:①任何一个大于6 的偶数,皆可表示成两个素数之和;②任何一个大于9 的奇数,皆可表示成三个素数之和。

欧拉是18 世纪数学界最杰出的人物之一,不但对数学做出了卓越贡献,还把整个数学知识应用于物理学研究领域。欧拉28 岁右目失明,56 岁左目失明,但他凭着超人记忆和精确心算在黑暗中又进行了12 年数学研究。他是数学史上最多产的数学家,平均每年写出800 多页论文。许多数学分支皆可见到以其命名的重要常数、公式和定理。难怪有人说:“若无欧拉的众多科学发现,今天的我们可能会过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749—1827)则云:读读欧拉,读读欧拉,他是我们所有人的老师。

欧拉读了哥德巴赫的来信,并验证了其猜想,但一般证明未果。

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图3.1.3　原瑞士法郎上的欧拉

数论命题有一个特点:表面看起来很容易的猜想,要证明起来却是很困难。哥德巴赫猜想的提出是对数学家的挑战,它至今仍是一个未解决的数学难题。在18 ～19 世纪,数学家对该猜想的证明未做出实质性推进,直到20 世纪才有所突破。

将每个大偶数N 表为A+B,其中A 和B 的素因子(又称质因子、质因数,是指能整除给定正整数的素数)个数分别不超过a 和b,则哥德巴赫猜想可写成“1 +1”。因自然数有无穷多个难以一一验证,故需要高深数学工具来完成哥德巴赫猜想的证明。最初进展是由“筛法”而得到,并取得了可喜的成果。

1920 年,挪威数学家证得“9 +9”。虽然这离“1 +1”差很远,但这是一次重要的突破,因为自1742 年哥德巴赫猜想提出以来,一直没有什么实质性的进展。更重要的是,关于“9 +9”的证明,实际上指明了一个研究方向。

1924 年,德国数学家证得“7 +7”。

1932 年,英国数学家证得“6 +6”。

1937 年,意大利数学家先后证明了“5 +7”,“4 +9”,“3+15”和“2 +366”。(www.chuimin.cn)

1938 年,苏联数学家布赫夕太勃证得“5 +5”,并于1940年证得“4 +4”。

华罗庚(1910—1985)是中国最早从事哥德巴赫猜想研究的数学家,其在1936 ～1938 年赴英留学期间,师从英国数学家哈代(G. H. Hardy,1877—1947)研究数论,开始研究哥德巴赫猜想。

1950 年华罗庚在中国科学院数学研究所组织数论研究讨论班,选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题,参加讨论班的学生有王元、潘承洞(1934—1997)和陈景润(1933—1996)等。

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图3.1.4　我国数学家(左起)杨乐、张广厚、华罗庚和陈景润

首先攻克难关者是初出茅庐的王元。他融合了赛尔贝格筛选法和布赫夕太勃迭代法,创造出下界筛方法,并于1956 年成功证得“3 +4”。随后又证得“3 +3”、“2 +3”,使中国在哥德巴赫猜想研究领域达到国际领先水平。

潘承洞也毫不示弱,于1962 年证明了“1 +5”;1963 年,潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1 +4”。

1965 年,苏联数学家布赫夕太勃和维诺格拉多夫及意大利数学家朋比利证得“1 +3”。

从“9 +9”到“1 +3”,每一步都非常艰难,每前进一步数学家都需要付出非常之努力。正是“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”。

陈景润更是在异常艰苦的工作环境中,向哥德巴赫猜想进军。 1966 年陈景润对筛法作了重要改进,仅用一支笔和大量草稿纸攻克了“1 +2”,成为哥德巴赫猜想研究史上的重要里程碑,其研究结论被称为“陈氏定理”。从“9 +9”到“1 +2”用了46 年,虽然目前距哥德巴赫猜想“1 +1”只有一步之遥,然而这一步是最难的一步,至今半个世纪过去了仍无人超越,故陈景润的研究成果愈来愈显得神奇。

法国数学家赞道,陈景润所做每项工作,都好似在喜马拉雅山峰巅上行走,异常危险,但一旦成功,必定影响后世。

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图3.1.5　陈景润

陈景润的成功源于其对数学的酷爱和情有独钟,其惊人毅力是完成数学研究最有价值的个性和素质。陈景润的杰出数学成就得到广泛赞誉,不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位,更重要的是因为以陈景润为代表的中国数学家表现出了克服重重困难、不畏艰险、勇攀高峰的精神。这种精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21 世纪世界数学强国而奋斗!

数学皇冠上的明珠“1 +1”正熠熠发光,引导着人们艰难的数学征程。相信总有一天,会有人摘下这颗明珠。

数海拾贝：数论中的1+1验证-哥德巴赫猜想

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