三角形内角之和定理：陈省身与数学之路

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：陈省身认为最重要的定理是“三角形内角和定理”与“勾股定理”。我们熟知的“三角形内角和定理”仅在平面上成立,而一般曲面上的三角形其内角和就不是常数了。高斯于1827 年证明了曲面上的三角形内角和公式,后法国数学家博内推广了该公式。1944 年陈省身完成了高斯-博内公式的简单内蕴证明,攻克了“几何学中极其重要和困难的问题”,该论文被誉为数学史上划时代的杰作。

诺贝尔物理学奖获得者杨振宁有诗云:“千古寸心事,欧高黎嘉陈。”意指陈省身在几何学上的地位与欧几里得、高斯、黎曼和嘉当(Elie Joseph Cartan,1869—1951)同样重要,并列为五大几何学家。陈省身是20 世纪杰出的国际数学大师,是获得沃尔夫奖的第一位华裔数学家。他从未感觉到数学“枯燥乏味”,把数学喻为“一盘炒了多年的木须肉”,并写下“数学好玩”的题词,以鼓励青少年学习和钻研数学。

像欧拉一样,陈省身能深入浅出地做一些高深研究。他曾对电视片《数学之美》记者说:“数学当然很美了! 有许多复杂的观念,用数学推理就能得到其结论。因此该观念就是完全对的,在任何情况下都是对的。比方说你学习三角形三内角之和等于180°,不管这个三角形大,或者小,或者是很斜的,不管什么形状的三角形,这个结论都是对的。这可是个不得了的结果! 许多人念数学,觉得学数学困难,是因其不知道欣赏这么一个重要结果。”

对于初等几何来说,长度和角是重要的基本概念。陈省身认为最重要的定理是“三角形内角和定理”与“勾股定理”。前者是欧几里得几何的一个基本定理,在非欧几何里它就不成立了,这亦是欧氏几何与其他几何不同的地方;后者也很重要,该定理讲的是长度问题。

我们熟知的“三角形内角和定理”仅在平面上成立,而一般曲面上的三角形其内角和就不是常数了。高斯于1827 年证明了曲面上的三角形内角和公式,后法国数学家博内推广了该公式。 1944 年陈省身完成了高斯-博内公式的简单内蕴证明,攻克了“几何学中极其重要和困难的问题”,该论文被誉为数学史上划时代的杰作。所给高斯-博内-陈(Gauss-Bonnet-Chern)公式为

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这里 pagenumber_ebook=78,pagenumber_book=69 表示曲面曲率k 在三角形A 上的积分,α1,α2,α3分别为三内角之值。

①当k=0 时,有α1 +α2 +α3 -π=0,即平面三角形之内角和为180°,这是众所周知的结果;(www.chuimin.cn)

②当k>0 时,有α1 +α2 +α3 -π>0,即三角形内角之和大于180°,球面上的三角形就属于此情形(因居住在地球上,

此乃我们的生存空间);

③当k<0 时,有α1 +α2 +α3 -π<0,即三角形内角之和小于180°,双曲面(马鞍形曲面)上的三角形属于此情形。

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图1.12.2　陈省身的墓碑

这亦是陈省身自认为最得意之作,故被镌刻在其墓碑上(虽然他生前表示不要墓碑)。陈省身生前曾多次表示:“我和夫人百年之后,骨灰就埋在南开校园,上面盖一个亭子,不要墓碑,不要坟头,但要有一块黑板,供后学演习数学。”他称数学是他“唯一会做的事情”,直至临终也未停止数学研究。陈省身的口袋里总带着笔,以便随时记下灵感。他曾说,睡觉时也在思考数学问题,早晨醒来后,唯恐忘掉需赶紧记录下来。

三角形内角之和定理：陈省身与数学之路

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