双曲几何也否定了这一公设：双曲几何中，平行线有无穷多条。其中，曲率为零的部分满足欧几里得几何，曲率为正的部分满足球面几何，而曲率为负的部分满足的是双曲几何。双曲几何对应的是负曲率的空间区域。......
2023-11-22
黎曼几何：常曲率空间及其重要性
【摘要】：在黎曼几何中,最重要的研究对象就是所谓常曲率空间。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何,而第一种情形则是其本人的创造。表1.10.2三种几何学的比较黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家,其创立的黎曼几何不仅承认了已有的非欧几何,而且显示了创造其他非欧几何的可能性。
是金子总会发光的,1854 年罗巴切夫斯基几何思想得到进一步发展:时年28 岁的德国数学家黎曼(1826—1866)建立了一种更为广泛的几何学,即黎曼几何。
在黎曼几何中,最重要的研究对象就是所谓常曲率空间。 对于三维空间有三种情形:曲率为正常数,曲率为负常数,曲率恒等于零。 黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何,而第一种情形则是其本人的创造。 在这种新几何中,过已知直线外一点,不能作任何平行于已知直线的直线。 普通球面上的几何就是黎曼几何,其上每个大圆可看成一条“直线”,易见球面上的“直线”都是相交的,而且三角形内角和皆大于180°。
表1.10.2 三种几何学的比较
黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家,其创立的黎曼几何不仅承认了已有的非欧几何,而且显示了创造其他非欧几何的可能性。 但黎曼理论仍难以被同时代的学者所理解。 为了照顾多数听众,黎曼在其演讲中删除了许多数学技巧性细节,然而除年迈的高斯外,几乎没有人能听懂他所讲的内容。(www.chuimin.cn)
直到19 世纪70 年代,非欧几何才真正被学界普遍接受。这得益于意大利数学家贝尔特拉米(E. Beltrami,1835—1900)、德国数学家克莱因(F. C. Klein,1849—1925)和法国数学家庞加莱(H. Poincaré,1854—1912)等先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型,从而揭示了非欧几何的现实意义。
现在可谓多种几何学共存,已有多种非欧几何创立并发展。 非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果,其创立不仅带来了数学科学的巨大进步,而且对现代物理学、天文学及人类时空观念的变革都产生了深远影响。
“质疑”和“推广”是数学家的根本素养。 从“质疑”平行公设到创立非欧几何,其中凝结着无数数学家的努力和心血,我们应学习其执着求真精神。 数学学习是一种生动活泼、积极主动和富有个性的活动。 数学学习作为一种乐趣、一种享受、一种对数学奇境的探索,可使学习者成为具有创新意识的探索者,体验到数学科学的神奇与价值。
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2023-11-22
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2023-10-27
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2023-11-24
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2023-11-22
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